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.r. X o 3n, + a„, 1 . X + an, 2 . X^ . . . -|- an, „_ 1 . x"^'^ 



(1 — x)"+' 

 wo a„,o, flu,!, a„,o • • • ^n, n-i gaiizG positive Zalilen darstellen, und 

 wo an, s = 0, sobald das ganzzaliiige s sei es negativ, sei es >» n -1 ist. 

 In der That, führen wir diesen Aiisdriiciv in (2.) ein, so sehen 

 wir, dass derselbe für ein beliebiges ganzes und positives n gilt. Und 

 für die Coeffizienlen a,i, s ergiebt sich die Relation 

 (4.) a„, s= (s-f 1) . an-],s -f (n — s) . au_i,s_i. 



Gemäss den obigen Ausdrücken für S^, S^, . . S,. ist für n = 1, 

 2. 3, 4, 5 



(ö.) an, s— 1 ^=^ Su . n— s- 



Aus (4.) aber geht hervor 



an,n-s =^ (n — S-f-1) • a„_i,n-s + S . an- l,n-s-l 

 an, s-1 = (n — S-fl) . an_i,s_o -(- S . an_l,s~l- 



Wenn also die Relation (5.) für den Index: n — 1 gilt, so gilt 

 dieselbe auch für den Index n, und somit gilt dieselbe allgemein. 



Schreiben wir die Formel (3.) 



3,1,0 + an, 1 . X -f an, 2 • X" • • + 'In, n-1 • x" ^^ 





s=0 

 und setzen die Coeffizienlen derselben Potenzen von x auf beiden 



Seilen einander gleich, so kommt, wenn wir mit ( I den Goeffi- 



cienlen von x"" in der Enlwicklung von (1-f x)" bezeichnen: 



a«, = 1 



'n+r 



an,i = 2--( ^ ).l 



(6.) a„,,= (s + 1)"- f"|^] '"+ CtO • ^'~^^' 



an, 2 ^= 



u. s. w. 



n + 1' 



s 

 und weiter gewinnen wir die Identität = an, n+s, d. h. 



