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+ (n + hf . 



Aber 1 — ( ) + ( ' )...(— 1)[ j ist der Coeffl- 



zient von \^ in der Entwicklung von (1 — x)"" . (1 — x)"^ also 



und wir erhallen 



(9.) n! = 



= (n+k) _( ](n-fk-l) +( )(nfk-2) .. 



oder auch 



(9.1) n! 



n+k-i / n 



n \ „ / n\ „ „ / n 



= (n + 10 -( J(nfk-l) -f (^2J(u-f-k--2) ..(-1) (^^Jk^ 



wo k eine beliebige positive ganze Zahl inklusive null darstellt. 



§ 3. Zerlegen wir den Ausdruck rechter Hand in (3.) in Partial- 

 brüche, indem wir setzen 



+ r n — 1 



an 1 . X . . . -}- Bn, n-1 • X 



(1-x) 



u^l 



■'^n, n -An, n— 1 , . su— 1 ^n, 



[i-^r' (i-x)" u-x)'' 



Schreiben wir x=l — h. so haben wir 



An, n — An, „-1 • h [- . A„, n-2 h^ . . ( — 1 )"~^ . An, i . ll""^ = 



= 3.1,0 + an, 1 . (1 — h) + a«, 2 • (1 - 10'' ■ . -f a„,n-i • (1 — li)"~\ 

 und hieraus, wenn wir die Coeffizienten derselben Potenzen von li 

 einander gleich setzen 



An, n = a„, -f- -In, 1 + 3«, 2 " • • "f" Sn, n-1 

 An, n-1 = ( 1 ) 3". 1 + ( 1 ) ^"' 2 • • • • -j- ( . ) an, n-1 



