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(24.) ^""^'Q ^'IZlU, _[ -'"-1.2 . "-1 an-l,n-2 



w 



n-j-2 



2 



= (— 1) . fn-f-l) . Bn^_^, wenn n gerade und > 0, 



= ^ , wenn n ungerade und > 1. 



Die Formeln (22) und (23) stellen die Bernoullischen Zahlen 



durch die a^, s mit geraden Indices n, die Formel (24) durch die an s 



mit ungeraden Indices n dar. Die Coefficienten a^,« sind durch die 



Formeln (6) und durch die Rekursionsgleichung (4) gegeben. 



Betrachten wir endlich die Gleichung (20) 

 k n 



^ ^" = ^ (— 1)" " • ( ) • An, r. In der Faktoriellen 



k+r\ _ (k+r)(k+ r-l) . . (k+1) k . , 



r-fiy (r+l)l ^^^ ^^^ Faktor von k gleich 



rl 1 



Y-L-i ■ Wir erhallen somit aus (21) 



(25.) -^ ^"- ^ I ^°- 3 r-if+' '^"'" 



B„|^, wenn n gerade und > 0, 

 , wenn n ungerade und > 1. 



Setzen wir hier gemäss (15) An, s = s (An_i,, -f- An-i, s_i), so 

 kommt 



(26 ) ^^^=lii _ ^"-1'2 I An-1,3 . . .n An-l, n-1 



^ -^ 2.3 3.4 -^ 4.5 ■• ^ ^^ • "ir(ii+l) = 



!n4-2 

 (—1) ". Bn.2, wenn n gerade und > 0, 

 , wenn n ungerade und > 1. 



In (25) sind die Bernoullischen Zahlen durch die A„,s mit ge- 

 raden Indices n. in (26) durch die An, s mit ungeraden Indices n dar- 

 gestellt. Die Coeffizienten An,., sind durch die Formeln (12) und 

 durch die Rekursionsgleichung (15) gegeben. 



§ 5. Der Clansen-Stmidt'sche Satz. Wir hatten in (25) die 

 n^«^ BernouUische Zahl Bn dargestellt durch 



