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2n 



(-1)" . B„ =2 (-i)'""' ■ -^- 



s 

 wo An s = (—1)' .^ (—1/ . (V "^d An,s = (mod s!). 



Untersuchen wir jetzt Ajn.s auf die Teilbarkeit durch s -f-1. 



a) Wenn s-\-l in zwei ungleiche Faktoren zerlegbar, s -j- 1 ^= a . b, 

 wo a ^ b > 1, so sind sowohl a als b kleiner als s -j- 1? und daher 



findet sich jeder dieser Faktoren in s! Dann ist also ""'^ eine 

 •" s-f-1 



ganze Zahl. 



b) Wenn s -]- 1 =^p^, wo p eine Primzahl, so behaupten wir, 



dass wiederum — p^ eine qanze Zahl. 

 s+l 



s! 3! 3 



Denn wenn zunächst p = 2, so ist zwar 



s+1 4 



A2B,s 3 — 3. 2'" + 3'" 



aber dann ist -^^ = . ~^ — ^un ist 3 -f 3-"(mod4) 



s-j-1 4 



= — 1 -j- ( — 1)"" = 0, und daher — '^y^ eine ganze Zahl, w. z. z. 



„, . .. , , . s! 1.2.3...(p2-l). 



Wenn aber p > 2, so betrachten wir — = 7. 



s-f-1 p'' 



Wenn nun p > 2, so ist p^ — 1 = (p — 1) (p + l) > 2 p. Im Pro- 

 dukte s! treten daher sowohl p als 2 p als Faktoren auf, und daher 



s! A2 



ist — r^ öanz und somit auch ^^^ eine ganze Zahl wie z. z. 



s-f-1 ° s-f-1 ° 



c) Sei nun s-\-l=p, ivo p eine Primzahl. 



Wenn zunächst s-f-1 =2, so ist im Ausdruck von ( — 1)" • ßn 



das betreffende Glied '^""' ^ = ^ • 



Sei endlich s-f-l^=p, wo p eine ungerade Primzahl. Im Aus- 

 druck von ( — 1)" • ßn ist der beireffende Term 



A2n,s V: , .jH \r) . r'" 



r = ,Z. (-1) 



s-f-1 äü^ ' ' s-f-1 



Bern. Mitteil. 1899. No. 1466. 



