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oder mit Rücksicht nicht bloss auf die algebraische ForQi, sondern 

 auf den absoluten Wert 



f(x)dx = F(b) -F(a), 



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wo a einen Anfangswerl der Variablen x bezeichnet, von dem an man 

 sie bis zu ihrem Endwert b wachsen lässt. 



Aufgabe: Die Funktion f(x) ist gegeben; es ist aber kein 

 Verfahren bekannt, durch welches man einen endlichen (geschlossenen) 

 Ausdruck für die Funktion F(x) finden könnte? Man soll daher 

 F(b) — F(a) wenigstens approximativ mit jedem beliebigen Grade von 

 Genauigkeit berechnen. 



Auflösung: Man teile b— a in n gleiche Teile — je mehr, 

 desto besser. — Ein solcher Teil heisse w, also b — a = nw. 



Wenn nun f(x) zwischen den Grenzen a und b kontinuierlich 

 und endlich bleibt, so kann der Fehler, den man begeht, wenn man 

 in der Gleichung (A.) das Zeichen lim weglässl, durch Vermehrung 

 der ganzen Zahl n und daherige Verminderung der Grösse w so klein 

 gemacht werden als man will, nur nicht = 0. 



Begnügt man sich nun mit irgend einem Grade von Genauigkeit, 

 und nimmt man w so klein an als es derselbe erfordert, so kann man 

 folgende Gleichungen hinsetzen : 



F(a + wj — F(a) =:wf(a) 



F(a-|-2w)— F(a4-w) =wf(a-fw) 

 F(a-h3w) -F(a4-2w)=wf(a4-2w) 

 F (a + 4 w) — F (a -\- 3 w) = w f (a -f 3 w) 



F(a + nw) — F(a-f(n — l)w) = wf(a-f-(n — l)w), addiert 



F(a + nw) — F(a) = w jf(a)-]-f(a-f-w) + -j-f(a4-(n — l}w)) 



= F(b)-F(a). 



Beurteilung des an dieser Gleichung haftenden Fehlers, 



für den Fall, dass f(x) von x = a bis x— b 



beständig wächst. 



Den n*^"^ Teil von b — a, d. h. w teile man ferner in p gleiche 

 Teile; dann kann man die Gleichung 



F(a-f w) — F(a) = wf(a) 

 durch die viel genauere 



