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 ^ 2(2n-l)! 



jedoch, so dass mit wachsendem n diese Ungleichheit sich beständig 

 der Gleichheit nähert. Da nun im Zähler des Ausdrucks rechter Hand 

 die mit wachsendem n neu hinzu kommenden Faktoren stets grösser 

 werden, während diejenigen des Nenners sich gleich bleiben, so schliesst 

 man liieraus sofort, dass Bn jede endliche positive Grösse überschreiten 

 kann. Die Zahlen Bi B2 — B^ • • • ■ heissen Bernoullische Zahlen. Ihre 

 Werte werden successive berechnet und verificiert mittelst der 

 Gleichungen 



— 1 L^y(^-,f( ''' 



2n-hl 2 ^^^ ^ Vsk— 1 



k=n 

 1 1 V^ .xk/2n+r 



2n4-2 -y-^^"-^^ 

 ' k=l 



2 k— 1 



(p) 



Von 11—1 



bis 11=00 



Es sei auch 



!ii+l 



k=n 



<f (x, n) 



X 



2n-}-l 



2n 



2ii— 1 



■2(-i) 



'B.(,,,^:j.— 



ili{\,n) = 



k=l 

 k^n— 1 



2n 



k=l 



(-i)'B.(JLl')^^"-" 



(q) 



Dann kann man mittelst dieser Bezeichnungen folgende Sätze 

 hinstellen: 



rf(xjdx=w if(a)+f(a+w)f(a+2w) + ...+f(a-h(n-l)w)+Yf(b) 



k=oo 



+ 2 (-1)' ^^ ^ärayi { ^'^-' ^^^ ~ ^'^-'^'^ \ ^'^ 



k=l 



WO b — a = nw und f2k-i(x) den (2 k — 1)*«='^ Differentialcoefflcienten 

 von f(x) bezeichnet. Es ist weiter 



^ e^+e ^ _ . , Bi B, ,63 B4 



2i _iL-^ + lT^~3T "^^ 7! ^ 



(s) 



e- — e 



