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welche damit auszuführen sind, wie wir sehen werden, oft schwierig 

 und erf(jrdern viel Zeil. Die Schlömilchsche Definition stimmt nicht 

 mit derjenigen von Raabe überein; doch ist die Beziehung zwischen 

 beiden sehr einfach aufzustellen, was wir in einem spätem Abschnitt 

 dieser Arbeit darstellen werden. Etwas erweitert findet sich die 

 vorhin erwähnte Abhandlung auch in Schlömilchs «Compendiura der 

 hühern Analysis.» Braunschweig 1866, Seite 207 u. ff. des II. Bandes. 



Wie aus den hinterlassenen Manuskripten von Professor Dr.L,^'c/iA///i 

 in Bern hervorgeht, hat sich auch dieser eingehend mit der Bernoullischeri 

 Funktion beschäftigt. Seine Definition stimmt mit den beiden vorher 

 erwähnten nicht überein; er kommt, allerdings auf ganz anderem Wege, 

 zu einer den frühern aber nahe verwandten Funktion, nämlich als Zu- 

 sammenhang mit den Koeffizienten einer Binomialentwicklung. Das 

 Interessante seiner Definition ist, dass dieselbe aus der gleichen 

 Fundamenlalbeziehung herstammt, wie die Definitionsgleichung der 

 BernouUischen Zahlen. Immerhin lässt sich seine Definition mit den 

 beiden vorhergehenden in einfache Beziehungen bringen. 



Schliesslich hat sich in den letzten Jahren noch der englische 

 Mathematiker Dr. J. W. L. Glaisher sehr eingehend mit dieser Funktion 

 befasst. Von demselben existieren zwei in englischen mathematischen 

 Zeitschriften erschienene Abhandlungen über diesen Gegenstand. Nach- 

 dem derselbe in seiner ersten Arbeit «O/t tlie Bernoullian Function,»^) 

 die allgemeine Theorie der BernouUischen Funktion ausführlich ent- 

 wickelt hatte, gab er in seiner zweiten Schrift "On tlie deßiiite Inle- 

 (jrals connected uith the Bernoullian Function»'^) meist Integral- 

 darstellungen der BernouUischen Funktion, wie es ja schon der Titel 

 sagt; es finden sich jedoch auf Seite 21 einzelne Spezialwerte dieser 

 Funktion, so dass die letztgenannte Schrift zu den vorliegenden Unter- 

 suchungen ebenfalls herbeigezogen w'erden mussle. 



Es handelt sich nun darum, nachzuweisen, welche dieser ver- 

 schiedenen Definitionen von Raabe, Schlömilch, Schläfli und Glaisher, 

 und letzterer hat selbst wieder von einander abweichende aufgestellt, 

 für die Theorie die zutrelTendste ist. Um diese Frage entscheiden 

 zu können, müssen wir uns vorerst mit den einzelnen Definitionen ver- 

 traut machen. Wir betrachten daher der Reihe nach die verschiedenen 

 Definitionen, möglichst erschöpfend und mit Weglassung alles Neben- 

 sächlichen. Gestützt auf diese Betrachtungen treffen wir dann unsere 

 Folgerungen und den Enischcid der Frage. Die einzelnen Abschnitte 



