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k=oo 



v3 x^ , ^^ sinkx 



3! 2! ^ ^ rr. k' 



k=l 



2 m— 1 ..2 m— 3 



2m+l ,-2m ^-'»"-i x" 



k=oo 



sin k X 



+ 2(-ir's„„_,,|^ + 2(-ir S,,x+2(-ir+' ^ pi^- («) 



=1 



2m+2 .,2m+l ,,2"» \-'"~^ 



28.3 7^,— ,-f-2S,-^--^- + 



(/^) 



(2m+2)! ■" (2m4-l)! MSm)! ' M2m-2)! 



k=oo 



^- k=l "^ 



Beide gellen für alle Werte von x = bis x = 2 7«; m darf gehen 



von 0, 1, 2, ; eine Ausnahme bildet nur m = 0; denn für diesen 



Wert bleiben die Grenzwerte x = und x = 27r ausgeschlossen. 

 Berücksichtigen wir, dass 



Bm=(2n^)!^r3^S2m' 



(2 TT) 



(2m)! ^ ,,, .. (2 mfl)! 



und multiplizieren wir (a) mit -3^^^:^ und (/:?} mit 2m+2 ~> 



so werden 



2(— ir+^(2m)! '^ sinkx ^ [2^} _ J^ /JlV"' 

 (2uf-^' lf3 k^'"+^"" 2m+l 2 1,2^; 



2(— i)"(2m-|-l)! "^ coskx ^ V27rJ 



(2^r+- iSk-""+' 2m+2 2 V27r, 



Hrr')'.fc)'"-+ +'^(:::i;)'4Ä)" 



, (-1)% 

 '~2m-|-2 ""+1 



In diesen beiden letzten Gleichungen ersetzt Raabe (—j durch xund 

 führt die Beziehungen (2) und (3) ein; dann werden 



