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.,'"+1 1 1 /'m\ 



1 /"Ap m-3 , 



B(z)4-(-irß(-^)--^" (16) 



Spezialisieren wir diese letzte Beziehung auf die gerade und 



ungerade BernouUische Funktion, so erhalten wir 



B"(-z) = — B"(z)— z'-''" und B'(— z) = B'(z) + z2"'+\ (16^) 



Addieren wir die P^rnie-ln (15) und (16), so erkennen wir, dass 



B(l+z)4-(-l)"B(W.)=0. (17) 



Aus der letzten Gleichung ergeben sich zwei Beziehungen, die uns 

 über die geraden und ungeraden Bernoullischen P'unktionen nähern 

 Aufschluss geben. Je nachdem m gerade oder ungerade, wird, wenn 

 wir vorher z durch ( — z) ersetzen, 



B(l-z)-|-(— l)'''B(z)=.0. (IT'') 



B"(l— z)=— B"(z); B'(l— z)r=B'(z). (17b) 



Für z = folgt aus (15) B(1) = B(0), und da laut Definitionsgleichung 



B(0) = 0, so wird 



B(0) = B(1) = 0. (17«) 



Ist der Exponent gerade und z^=-— , so entsteht nach (17*^) 

 B'1-^) = — B 



und dies kann nur Null sein; somit ist 



B(0) = B(^i-)=B(l) = 0. (17d) 



Es sind dies alles Resultate, die uns bei der Diskussion der 



Bernoullischen Funktion gute Dienste leisten werden. 



Später^'') leitet Raabe dieselben Eigenschaften aus unsern Formeln 



(4) und (5) ab. Er ersetzt in (4) z durch (1 — z); dann wird 



k=oo 

 2(— l)°'+^(2m)! "^^^ sin2k/r(l— z) 



B"(l ^)- ^2^y2.+i ^^ ,2.+i 



Da aber sin2k7r(l — z) = — sin2k7i;z, so wird 



