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k^^oo 



^„^. ^ — 2(-ir+'(2m)! V? sin2k^z 



B a-z)= \„ ..^^i ^ — . 9..^i • also 



Desgleichen wird 



B"(l-z)=— B"(z).'i) (17b) 



k^oo 



RV1_.^4_ tlT^ _ 2(-ir(2m+ l)! V cos2ky.(l-z) 

 ^ ^"^ m4-2 -+i (2 7r)-"+' j^ k-'"-"' " 



Da cos2kyr(l— z) = cos2k7rz, folgt 



k=oo 



R'n-7^-4--t^T, _ 2(-ir(2m+l)! ^ cos2kyrz 



B'(l— z)^-B'(zVi) (17'^) 



Dass die Funktion B(z) bei der Annahme eines ganzen, positiven 

 Exponenten m die Summe der m**^" Potenzen aller Zahlen 1 bis (z— 1) 

 darstellt, kann nun gestützt auf die schon gefundenen Beziehungen 

 leicht gezeigt werden. Zum ersten 3]al sind solche Reihensummierungen 

 von Jakob Bernoulli allgemein gelöst worden, der in seinem für die 

 Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung so wichtigen Werke »ars 

 conjectandi» 1713 mit Hülfe der von ihm eingeführten Bernoullischen 

 Zahlen, von denen er die 5 ersten berechnet*'^), solche Summierungen 

 vornimmt. Vor ihm haben verschiedene Mathematiker wohl spezielle 

 Potenzreihen summiert; der Engländer Wallis summierte die vierten, 

 fünften und sechsten Potenzen ^^); auch Faulhaber führte in seiner 

 «academia algebrae» 1631 solche Operationen aus^*); aber Jakob 

 Bernoulli*") gebührt das Verdienst, diese Aufgabe allgemein gelöst zu 

 haben. 



Ganz einfach lässt sich diese Aufgabe durch Anwendung der 

 Bernoullischen Funktion ausführen. Wir gehen von Formel (15) aus, 

 erhöhen successive das Argument z je um die Einheit und erhalten, 

 wenn wir schliesslich alle diese Gleichungen addieren und z um k 

 Einheiten fortschreitet, 



B(k+z) = B(z) + z'-^- (1+z)'" + (2-f z)"^ + . . . . -I- (k- l-hz)-. (18) 



Daraus geht für z = die gewünschte Summationsformel von 

 Jakob Bernoulli hervor, nämlich 



