— 14 - 



2 m / \ 2 m 



/ -| \2m / \2m 



dem Exponenten (2 m), also von ( — ) bis zu (k — 2 -| — ) lassen 



1 

 sich geslülzl auf (IS'*) darstellen durch — 2^B"(nk); deshalb wird 



B"(k)+B"(k+i)4-B"(k-f|) + +B"(k+"^) 



= -^B"(nk). (19) 



Raabe weist dann nach, dass diese Formel gilt für k = beliebig 

 rational gebrochen und positiv, dann für alle irrationalen positiven 

 Werte von k, schliesslich zeigt er, dass dieselbe auch für negative 

 reelle Werte von k die Gültigkeit nicht verliert. ^^} 



Um den entsprechenden Satz für die ungerade Bernoullische 

 Funktion zu erhallen, verfährt er wie folgt: Ausgehend von (7), wird 

 B\(z) = (2m4-])B"(z).i^^) 



Er ersetzt darin z durch ( z -| ), summiert beidseitig von k = bis 



k = n — 1 und erhält unter Anwendung von (19) 



Nach (7) ist aber auch B\(nz) = (2m+l) ß"(nz), daher 



k-=n-l 



n i.._n \ " / 



k=0 



Wird beidseitig mit dz multipliziert und in Beziehung auf z 



integriert, so folgt 



k=n-l 



1 ^,, . ^^.1 , k 



wo i\I als Inlegralionskonstaute von z unabhängig ist. Um diese zu 

 bestimmen, setzen wir z = 0, dann wird 



k=n— 1 



"V^ /'k 

 = M 4 ^ B' ' 



