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ß- W dz = ..„.,. .,/'fr^'^ ,„. B„„,,. (25) 



J ^ ^"^ ^"^ (2 m-j-1) (2 m-f2) (4 m4-2) "^m+i 







Ebenso wird aus (5) 



f' 2.., r(2m+ 2) 



J *^^^ (2m+2)(2m+3) (4m+4) 2m+2 







_L !1}±1 . (26) 



^\ 2m+2 ( 



Mit Zuziehung der Gammafunktion gelangt Raabe zu einer An- 

 zahl bestimmter hitegrale, welche durch die Bernoullische Funktion 

 dargestellt werden können. 



Bekanntlich ist ., 77 = I e-'^"u2'^du. Setzen wir diesen 

 k-'"+' J 







Wert in Formel (4) ein, so wird 



fik=oo 1 



> e-'^%in2k;TZ u-"du. 



k=c>o 



"X^ -ku . ^, sin2iTZ . . 



Da aber >, e sin2k7rz = -— so wird 



^, e" + e""— 2cos2/rz 



k=l ' 



d ^1 = ■ ' ■ l: ^ B" (z). (27) 



e"-Le""— 2cos2>rz ' 2sin2rrz 



ö' 

 Ebenso wird 



,00, _iK 2m+l 



(cos2..z-e )u- an=i(-ir(2^f-+'B'{z) 



J e"+e""— 2cos27rz ^'" 2 







2m+2 



+ T 2m+2 ^-+1- ^^^^ 



Durch partielle Integration findet Baabe eine weitere Anzahl von 

 bestimmten Integralen, ausgedrückt durch BernouUische Zahlen oder 

 Funktionen. Ebenso erhält er noch andere kompliziertere Formeln, 

 wenn er die Summenformeln oder andere zweckmässig gewählte, mit 

 den BernouUischen Funktionen in Beziehung stehende Ausdrücke in 

 Partialbrüche zerlegt. Alle diese Beziehungen erfordern aber eine 

 ziemlich umständliche Herleitung. ^^) 



