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il. Die Bernoullische Funktion nach 0. Schlömiich. 



§ 7. Herleitimg der Defluition. 



Ausgangspunkt ist die Summalion der uns schon bekannten 

 Polenzreihe 



1"+ 2^^+ 3''+ 4'' + 4- (k— 1/. 



Das Problem bietet uns keine Schwierigkeiten, wenn die Fälle für 



p := 1, p = 2. p = 3, successive behandelt werden, d. h., 



wenn man jeden Fall auf den vorhergehenden zurückführt; eine all- 

 gemeine Formel ist dagegen auf diese Weise nicht zu finden, wohl 

 aber durch Differentialrechnung. 



Obige Reihe entsteht durch p -malige Differentiation einer andern 

 Reihe, so dass ist 



lP_|_2''+3"+ -f-(k-lf = j D'' ^ '~M ■'. 



Um die Differentiation auszuführen, zerlegen wir die rechte Seite 



kx— 1 



X e 

 in zwei Faktoren — ' — • =:^ ^(x) . i//(>.); dann wird nach der 



e"^ — 1 ^ 

 Regel der Differentialion von Produkten 



D" {^^(x) H^)]^= <fiO) W' (0) + ^^^ <p'iO) rir'iO) 



Zur Berechnung der Werte ^(0), (p'iO), ^""(0), benutzen wir die 



bekannte Formel über Bernoullische Zahlen-*) 



y — TT^y H — IT, h 



e-^4-e~" 1 , 2'-Bi 2'B, :, , 2^63 



e^_e-^ -^ 2! ■' 4! " ' 6! 



wo — 7r<y<7r. 



Durch passende Umänderung, wobei noch y =^ — x gesetzt wird, geht 

 diese Formel über in 



