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Durch Vergleich erhalten wir folgende Definitionsformeln, welche 

 die Bernoullischen Funktionen als Nullwerle von Differentialquotienten 

 darstellen 



IZX ^ 1 i Z X ^ I 



e — l)x=o ^1 e — 1 |x=o 

 Ausgehend von diesen beiden Hauptgleichungen hat Schlömilch 

 die verschiedenen Eigenschaften der Bernoullischen Funktion genauer 

 untersucht. Diese Definition stimmt nicht ganz mit derjenigen von 

 Raabs überein. ^'') Die Resultate, zu denen Schlömilch gelangt, ent- 

 sprechen denjenigen, die Raabe gefunden. Schlömilch ist der erste, 

 welcher gezeigt hat, dass die Bernoullischen Funktionen Differential- 

 quotienten sind; dass sich dadurch die Darstellung hübscher gestaltet, 

 ist nicht zu bezweifeln; nur ist das Operieren damit hie und da 

 ziemlich umständlich. 



§ 8. Die Deriyierteu der Beriioullischeu Funktion. 



A. Die einfachen Differentialquotienten. 

 Um die Eigenschaften der Ableitungen von <p{z, n) zu erfahren, 



differenzieren wir die gebrochene Funktion (m — l)-mal nach 



e^ —1 



X und einmal nach z und erinnern uns, dass die Reihenfolge der 



Operationen beliebig ist; demnach wird 



I e — 1 ) 



Dies liefert für x = unter Berücksichtigung der Definitionsgleich- 

 ungen (2) i),-^Öi£)_=^.(z,n-l) + 9p("-^^(0}. 



Trennen wir die gerade und die ungerade Bernoullische Funktion, 

 so folgt unter Anwendung früherer Beziehungen 



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 — ^ — ^(z, 2m) =2m . ^(z, 2m — 1) und (3) 



^(z,2m+l) = (2m+l) U(z,2m) -f (—1)'"-' B^. • (4) 



dz 



