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Diese beiden Formeln entsprechen ganz denjenigen von Raabe. In- 

 folge der etwas andern Definitionsgleichung zeigt hier die Ableitung 

 der ungeraden Bernoullischen Funktion den Zusatz einer Bernoullischen 

 Zahl, während bei Raabe die gerade. 



B. Die wiederholten Diflferentialquotienten. 



Schlömilch gibt dieselben nicht; doch sind sie durch successive 

 DitTerentiation einfach zu finden; es resultieren, ausgehend von (3) 

 und (4), folgende Formeln 



^^^^(z, 2m):== (2A)! Q ]{^^(/,.2m-2/i} f (-ir-^-^ß„,_,), 



^^^(z,2m) = (2^H:)!(^2;^^l)^^^''^'"~-^'~^^• 



\ 2 L 



(5) 



Jl' .... o... ..^ .o.../2m-M 

 öz 

 52;.+! /2m-H\ ( 



Die wiederholten Ableitungen der Bernoullischen Funktion sind wieder 

 BernouUische Funktionen; nur treten hier noch Faktoren und Ber- 

 noullische Zahlen dazu, welche die Darstellung etwas komplizieren. 



C. Einfache Integralformen. 



Multiplizieren wir die Formeln (3) und (4) mit dz und inte- 

 grieren zwischen den Grenzen und z, so erhalten wir 



J 



c?(z, 2m— l)dz==^^%^^: m>l und 

 2 m 



r% o \ . ^(^^' 2m-[-l) . , ^^,u ^, 

 J ^^(z,2m)dz = ^^^^ ' ^ +(— 1) B,n.z. 



(6) 



Die Integrale der Bernoullischen Funktion, nach Schlömilch definiert, 

 sind wieder gleiche Funktionen, dividiert durch eine bestimmte Zahl; 

 für die gerade Funktion tritt noch ein Produkt einer Bernoullischen 

 Zahl mit einer Yariabelen auf, das je nach dem Exponenten m ent- 

 weder addiert oder subtrahiert wird. 



