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dann werden im Intervall von liis 1 die Funktionen gerader Ord- 

 nung charakterisiert durch 



Fig. 2. 



Fig. 1, wenn n = 2, 6, 10, 14, , (4 k— 2), 



Fig. 2, wenn n = 4, 8, 12, 16, , (4 k) 



und die Funktionen ungerader Ordnung durch 



Fig. 3. Fig. 4. 



Fig. 3, wenn n = 3, 7, 11. 15, , (4 k— 1), 



Fig. 4, wenn n = 5, 9, 13, 17, , (4k-|-l). 



Auf eine genauere graphische Darstellung der verschiedenen 

 Bernoullischen Funktionen werden wir im letzten Abschnitt eintreten.^') 



§ 12. Venvandlaug der Bernoullischen Funktion 

 in trig. Reihen. 



Mit Hülfe der Schlömilchschen Delinition als DifTerenlialquotient 

 lässt sich diese Funktion in eine nach cosinus oder sinus der Vielfachen 

 eines Bogens fortschreitende Reihe entwickeln. 



Aus der Theorie der Fourierschen Reihen und Integrale ist bekannt 



e, ^ 1 , ttz , 2yrz , 3 7ti 



I (z) = -TT 3,,+ a, cos \- a,, cos \- a.3 cos 



2 " ^ n - n " n 



Avobei 



2 r kyrz 



a, = — f (z) cos dz. 



k n ^ n 



+ (0<z<n), 



Es sei f(z) = ^-(z, 2m) und n = l; dann wird 



f (z, 2 m) =— a^-|-ai cosyrz -|-a.2Cos 2 tt z -f- a.^ cos 3 tt z -)- 



1^9- (z, 



2m)cosk7<:zdz 



= 2D 



2m 



f{^) 1 (e'^— 1) cosk/Tzdz . 



)x=0 



