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Die Integration lässt sich jetzt leicht ausführen, doch müssen wir die 

 zwei Fälle gelrennt betrachten: 



±a„ = Drj,w/'(e"-l)d.L 



I (e^^cosk/^rzdz 



1. k = Ü, dann wird — a^^-^^D^"" j ^(x) ( (e'^'— l)dz 



2. A>Ö, daher 3^^ = 2 0' |V'(x) 



r ii 



— I cos k 7r z d z • 



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a, = 2U^ 91^) 



e^[(-l)^-K] 1 



l^^^'^ x^+.^^k 



2 1. 2 



lx=0 



. ,,"" (2m)! 

 Diese Formel wird für k = gerade \='^\ — 1) 



., A' = ungerdde a^ = 0. 



Demnach wird die gesuchte Reihenentwicklung 



.sm-i^ (2m)! I cos2 Tzrz . cos4 7rz 

 V^(z,2m) = (-iy"ß:.-f(-l)" 2^ + ,, 



C0S6 7fZ 1 .^ . 



+ ~i^^ + r ^^^ 



für 0<z<l. 



Auf ganz analoge Weise finden wir einen Ausdruck für die 



ungerade Bernoullische Funktion, so dass ist 



,,m..^m— 1)! [ sin2/rz sin4/rz 

 ^''(z,2m— 1) = (— 1) 2 ä^izii— om-i ■ ~r — 72^ir=r^ 



TT 1 ^ * . 



• +^^ + |- (22) 



für 0<z<l; n>l. 



Schlömilch findet diese Formel (22) durch DifTerentiatioii der 

 Reihe (21). Beide Formeln erinnern uns an die Raabeschen Definitions- 

 formeln (4) und (5), von denen ja Raabe die meisten Eigenschaften 

 seiner BernouUischen Funktion herleitet. 



Diese Reihen lassen darauf schliessen, dass die Bernoullische 

 Funktion in enger Beziehung zu den Kreisfunktionen steht, was auch 

 J. Worpitzky in einer Studie über .Bernoullische und Eulersche 

 Zahlen - beweist.^') 



