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Er zeigt, dass der Spezialwert einer geraden Ableitung der 

 €k)langente eines Argumentes, multipliziert mit dem Argument selbst, 

 sich durch eine BernouUische Zahl wie folgt ausdrücken lässt 



2m/ 1 'im 



l)^ xcütgx =~2 B„,. 



Ebenso lässt sich der Nullwert der geraden Ableitungen der 

 trig. Tangente durch eine BernouUische Zahl oder durch eine BernouUische 



Funktion vum Argument — ausdrücken, so dass ist 



Li 



2,u( I 2u,-l (2^™—!) 



D^ tg X =2 ^^ ^ B„,. 



SchliessUch ist auch der Nullwert der geraden Ableitung der 

 Sekante durch eine BernouUische Funktion darstellbar, indem wird 



2m( ] m+1 2*°"+'^ /l \ 



D^ jsecx}^^=(-l) ^-^,(-.2m+l). 



§ 13. Die Bernonllische Faaktioii in bestimmteu Integraleu. 



Ausser den einfachen Integralwerten in § 8 dieses Abschnittes 

 gibt Schlömilch weder in seinem Compendium, noch in der erwähnten 

 Abhandlung in Band I der Zeitschrift für Mathematik und Physik 

 andere Integralausdrücke mit BernouUischen Funktionen, abgesehen 

 von der BernouUischen Funktion, welche der Reslausdruck bei der 

 Summierung der allgemeinen Differenzenreihe enthält, und dem Rest- 

 gliede der Maclaurinschen Summenformel, das unter dem Integral- 

 zeichen ebenfalls eine BernouUische Funktion aufweist.^*') Auch bei 

 Worpitzky finden sich keine Integralformeln der BernouUischen 

 Funktion, doch lassen sich den Raabeschen Formen entsprechende 

 Ausdrücke mit Leichtigkeit aufstellen. 



III. Die BernouUische Funktion nach L Schläfii. 



§ 14. Herleitung der Definition. 



Schläfii geht aus von der Summe 



S., = 1" -4- 2"" + 3" + 4" H- + (x-lf ; 



gibt er dem m die Werte 0, 1, 2, , m, so erhält er (m-f-1) 



Summen So, Si, S2, , Sm. Diese multiplizieren wir der Reihe 



Bern. Mitteil. 1900. No. 1482. 



