- 34 — 



12 ™ 



nach mit y"' jy f^ ' ~r' '^ ^°'S^ 



AZ^= 1 -f 1 + 1 4- + 1. 



Siy^ _ y , 2y 3y [x-l]y 



II 1! "• II "^ 1! ~^ "^ 1! ■ 



iiZ!._ j1_ , I2jf j3_yy^ , [ix-Dy] ^ 



2! 2! "■ 21 ' 2! •" ' 2! " 



SmT^ y" I (2yr ■ (3yr , [i x-l)yr 



m! ml "^ m! ' ml "* ^ ml 



Addieren wir die senkrecht untereinanderstehenden Kolonnen, so er- 

 halten wir, wenn bis ins Unendliche ausgedehnt wird, 



m=oo 

 ^ ^my"" ^ I y I 2y , 3y (x-iw e""^— 1 



>^i — = l4-e4-e -|-e + -+6 = 



Wir denken uns die Gleichung mit y multipliziert und dann 

 zerrissen; so erhalten wir eine Beziehung, aus welcher wir die 

 Bernoullischen Zahlen ebenso leicht herleiten können wie die Bernoul- 

 lische Funktion. Wir definieren daher 



m=cx3 



^ ml e^-1 e^-1 ^^ 



m— Ü 



als die Fundamentalgleichung der Bernoullischen Zahlen und Bernoul- 

 lischen Funktionen. 



Der erste Bruch für sich betrachtet führt auf die Bernoullische 

 Funktion, während der zweite auf die Bernoullischen Zahlen leitet. 



Wir nehmen deshalb an, es sei 



n=c>o 



11=0 



j = 2/(n, x)y" und (2) 



definieren x(0, x) =: Konstante = 1 und x(n, x) als n^« Bernoullische 

 Funktion. Die Koeffizienten der Potenzen von y sind also die Ber- 

 noullischen Funktionen, und wir wollen für die n*« Bernoullische Funktion 

 x(n,x) einen Ausdruck suchen. Es wird 



