— 52 — 



Wir kehren wieder zu unsrer reellen Komponente (22) zurück 

 und wollen die Fälle n = gerade = 2 m und n = ungerade =(2 m-|-l) 

 trennen. 



Für n = 2 m wird cos (2 A yr — m /c) = (—1)'" cos 2>^7C0, also 



^ _cos^^^ _ (-1)'""' ^'— Z (2 m, 0). (23) 



k=\ 

 Dies ist eine den Raabeschen Definitionsformeln entsprechende Be- 

 ziehung; nur fehlt hier wieder der lästige Zusatz der BernouUischen Zahl. 

 Setzen wir darin = und berücksichtigen den Wert für 

 ;r(2m,0), so wird 



N^ 1 _. _J^ ^27rr"jm .p4^ 



äi^ I2m — ^2.n— ^ " ^2m)! ' ^"^ ' 



l=\ 



Da z(2i",0) = z(2m, 1), so würden wir die nämliche Formel erhallen 

 für 0=1. 



Für n = (2m |- 1) wird cos ( 2;.7r0 — mu —] = 



(_iy"sin 2A7r0; dies in (22) gesetzt, gibt 



A=c>o 



2 ^"^"1^— = (-1)'""' \ (2 ^)'"+' z(2m+l, 0). (25) 

 >l=l 



Für 0=0, — , 1 resultiert daraus die identische Gleichung 



= 0; dieselbe entsteht ebenfalls, wenn wir (23) nach ableiten. 

 Differenzieren wir (25) nach 0, so entsteht wieder Formel (23j; alles 

 dies sind Kontrollen der Richtigkeit. 



Spezialfälle dieser ungeraden BernouUischen Funktion sind lösbar 

 und sehr zu vereinfachen, wenn ein Mittel gefunden würde, um die 

 ungerade Bernoullische Funktion durch BernouUische Zahlen oder durch 

 geeignete bestimmte Integrale auszudrücken; doch stösst man gerade 

 bei letzterer Aufgabe auf die Summierung von komplizierten Aus- 

 drücken. So wird z. B. für ^ = ^ aus Formel (25) 



