61 



Lassen wir wieder ni =^ n werden, so erfährt die Beziehung (46) 

 keine Änderung, nur dass G (\) := [ /(2m-|-l, x) }' wird ; die Forniehi 

 (45) gehen dann über in 



/■ 







f 







{/(2m4-l,x)rdx=-^ 



Bo 



m+l 



/(2m-f-l,x)rdx = 



(4m+2)! 



1 B2m+1 



2 (4 m 4-2)! 



f /o 1-1 N )2 j 1 B2m+1 



(47) 



3. Eine Bernoullische Fiiniction sei gerade, die andere un- 

 gerade. Dann wird 



,r 



7(2m-H,x)7(2m,x)dx 



(— 1) 



2 (-1/ 



\2 m+1 



A=ooA=c>o 



-:^ry.y, 



sin 2 -^i yvrx. cos 2 A/t x 



(2^)--- (2.) . ^^^ ^^^ 



Weil I sin2/^7r X .cos2 -^/rxdx = 0, so wird 



1 

 X(2ni+1, x) x(2 m, x) dx =--= 0. 



dx. 



(48) 



Wir erkennen daraus den 

 Satz: Die Integrale eines Produktes zweier BernoiiUiscIien Funktionen 

 nehmen einen bestinunten durch Bernoullische Zahlen ausdrückbaren 

 Wert an, icemi die beiden Bernoullischen Funktionen gleichartig, ver- 

 schwinden aber, wenn dieselben ungleichartig sind. 



Die IntegraldarsteUungen lassen sich noch beliebig weit aus- 

 dehnen; doch müssen uns diese Betrachtungen genügen. 



