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IV. Die Definitionen nach J. W. L Glaisher. 



Nachdem Dr. Glaisher schon in einer frühem Bekanntmachung 

 «On series and jiroducts involving prime numbers onlu>>*^) auf die 

 BernouUische Funktion gekommen ist, widmet er derselben eine 

 eingehende Besprechung in der gleichen englischen Zeitschrift, be- 

 lilelt 'On the Bernoullian Ftmction>^ .^^) In dieser 168 Seilen um- 

 fassenden Abhandlung gibt dieser berühmte englische Mathematiker 

 eine grosse Menge von Formeln; ja er begnügt sich auch nicht mit 

 einer einzigen Definition, sondern führt deren mehrere an. Wir treten 

 hier nur auf diejenige Definition näher ein, die uns für die all- 

 gemeinste und bequemste erscheint, ohne dabei die übrigen zu ver- 

 nachlässigen, da wir alle aus der zu besprechenden Definition leicht 

 herstellen können, weil sie durch einfache algebraische Beziehungen 

 verbunden sind. Eine weitere Arbeit «O/z Ihe defmite Integrals 

 connected icilh the Bernoullian Function ^^'^^) von demselben Verfasser 

 gibt uns eine beträchtliche Anzahl von bestimmten hitegralen mit 

 BernouUischen Funktionen, 



Die Formel, die Glaisher einer eingehenden Betrachtung unter- 

 zieht, lautet anfänglich 



Tj / N ^'^ ^ '1-1 I *^ — ^ 1} v"-2 



n 2 '2! 



n-4 



__(n-l)(n^-2)(n-3)^^^^.._.^__ ^^^ 



§ 21. llerleitiiug der Definitioiisgleiclmng. 



Wie schon Raabe, so geht auch Glaisher aus von der bekannten 

 Beziehung für << x << 1 *'^) 



sin 4 yrx , sin ö/rx , / 1 



sin 2 TTX -I ^— ( ^ [- == ^ \ 2 



Durch Multiplikation mil dx und Integralion zwischen und x wird 



1 — C0S2 7fX 1 — C0s4yTrX 1 cos 6 TT X /x x^ 



multiplizieren wir mit (— 2yr) und zerreissen dann, so folgt, weil 



