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cos2„.+-^^^ + ^^ + = 2.^'[^--+-}. 



Durch wiederholle Inlegralion und Multiplikalion mit (— 2/r) entstehen 

 nacheinander 



sin2^x + ^^i^ + ^Hii^ + _^^!^_^ , A|. 



2^ ^ 8^ ~ 2! I 3 2 ' 3 



cos 2 yf X -f 



cos47rx , cosG/fX 



3 



-4 ^ — 2Vr* Jx^ \' X" Bol 



"^^ 3! I 4 2 + 2 ~TJ' 



, COS-Jr/tX , cos 6 TT X 



Cüs2 7rx-( — ^^ f- 



2'^" ' 3- 



+ (2l=iy^ (B2nW + (-l) 2„|- (2) 



. _ , sin4/rx , sin 6 TT X 

 sin 2 /c X -] ^— s— r-5— 



/ |xn+lc52n_2n+l 



Darin bedeuten Bii(x) die Klainnierausdrücke der oi^ern Formehi; es 

 sind dies die ^^ BernoulUschen Funktionen^. Die beiden Formehi (2) 

 und (3), wie auch die friihern, sind rationale und integrierbare Funk- 

 tionen von X. Der erste Terni von (2) ist von der (2 n)*^''^ Ordnung; 

 der letzte Terni der Bernoiilhschen Funktion in (2) ist vom 2^™ Grade 

 in x; der erste Term der Bernoulhschen Funktion in (3) ist vom 

 (2n f-l)*'^'! Grade, während der letzte in Bezug auf x linear ist. 

 Also ist nach dieser Definition Bn(x) eine Funktion von x, die 

 keinen von .r freien Ausdruck enthalten darf. Der Ausdruck, der 

 von X unabhängig ist in den obigen Entwicklungen, stellt stets den 



Wert der Reihe 1 -}- — + — + — + ^ ausgedrückt in Bernoul- 



2 3 4" 



li sehen Zahlen, dar. 



Diese Definition der Bernoulhschen Funktion stimmt nun ganz 

 mit derjenigen von Raabe überein, wie auch Glaisher bei seinen ersten 

 Untersuchungen über diese Funktion die Raabesche Definition benutzt 

 hat, und es ist 



B2n+iW = B"U) und B,^^2(x; = B'(x). 



