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Glaisher führt dann die Untersuchung über diese B„(x)- Funktion 

 in ausführUcher Weise durch, wobei er Raabe in vielem wesentUch 

 ergänzt. Er berührt anfangs ganz kurz die Funktion mit inversem 

 Argument, dann die einfachen Ableitungen und gibt die Spezialwerte 

 für x=^0 und x=:l. Sodann leitet er Reihenentwicklungen ab, in 

 welchen die Bernoullischen Funktionen als Koeffizienten auftreten. 



Alles dies sind Eigenschaften, die mit der Raabeschen Auffassung 

 übereinstimmen und bei denjenigen von Sclilömilch und Schläfli zu 

 entsprechenden Resultaten führen. 



Glaisher erwähnt auch, dass die Bernoullischen Funktionen 



ax ^ 



die Koeffizienten der Entwicklung — darstellen und leitet mit 



e — 1 



Hülfe dieser Auffassung einige Eigenschaften her. Hernach gibt er ähn- 

 liche Beziehungen von aufeinanderfolgenden Bernoullischen Funktionen 

 dieser Definition, entsprechend den Darstellungen bei den früher be- 

 trachteten Definitionen, und erwähnt auch die Funktion mit negativem 

 Argument. ^^) 



Uns interessiert diese Bn(x)-Funklion weniger, weil sie mit der- 

 jenigen von Raabe übereinstimmt und weil dieselbe zu wenig allgemein 

 ist, da auf der rechten Seite die Reihe mit dem Gliede in x^ oder x 

 abschliesst. Auch Glaisher sah sich gezwungen, zur Vereinfachung der 

 Koeffizienten der Entwicklung nach Bn(x)- Funktionen 



a(2x-l) , -a(2x-l) . ß 1 



a -^- = 1 + (2 a)^ ß,(x) + ^ 



für die Klammerausdrücke einfachere Funktionen einzuführen, und 

 er thut dies, indem er setzt 



Er selbst sagt, dass diese neue Funktion An(x) als analytische Funktion 

 praktischer sei, da sie weniger komplizierte und systematischere Resul- 

 tate liefere. Da jetzt bei der geraden Bernoullischen Fimklion durch 

 diese Setzung auch ein von x freier Term vorkommen darf, so steht 

 diese Funktion in enger Beziehung zu derjenigen von Schläni."") 



