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 Nach obigen Erläuterungen werden somit 



. / N 1 f 2n 1 o 211-1 , /^"\r) 2u-2 



» / \ 1 ( 2n+l I/o r ^^ 2u , / ^ ^^"T^ \ „ 2n-l 



-i 4 j"^^ ^- '-!> i 2n r»'\ 



Die Reihen brechen von selbst ab; beide lassen sich in die all- 

 gemeinere Formel für ein beliebiges n zusammenziehen 



Die Reibe geht so weit, dass rechts keine negativen Koeriizienten 

 auftreten dürfen; der letzte Term enthält _, oder ( ), je nach- 



dem n ungerade oder gerade ist. 



Diese Definition wollen wir nun eingehender betrachten. ^ 



§ 22. Die Deri vierten dieser Definitiou. 



A. Die einfachen Differentialquotienten. 



Wir gehen von der Definilionsformel (4) aus und differenzieren 

 dieselbe nach x; dann wird 



ax " ^' -. 2 ^•' ^ ^ ' \ 2 



4 1^2-'"' + 



-i-A,^(,)_(n_i)A^_,(x). (5) 



Diese Formel geht für n=-2ra und n = (2m-f-l) in die ent- 

 sprechenden Spezialformeln für die geraden und ungeraden Bernoul- 

 liscben Funktionen der Definitionen von Raabe und Schlömilch über. 

 Hier sind die zwei Spezialfälle in eine Formel zusammengefasst; nur 

 steht noch ein Faktor vor der BernouUischen Funktion, der bei der 

 Schläflischen Definition fehlt. Schon dies ist ein Grund, dass die 

 Definition von Schläfli den Vorzug verdient, da die einfachen Ableitungen 

 der ;f-Funktionen wieder reine /-Funktionen liefern. 



Beru. Mitteil. 1900. No. 148G. 



