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§ 23. Die A„(x)- Funktion mit iuverseni Argument. 



Glaisher Irilt auf diese Funktion nicht näher ein; er gibt nur 

 die Hauptfurmel, ohne auf ihre llerleitung einzugehen. ^^) Wir ge- 

 langen jedoch auf einfache Weise zu diesen Beziehungen, wenn wir 

 ausgehen von den später herzuleitenden Reihenentwicklungen (23) 

 und (24).^^) Ersetzen wir in (24) x durch (1 — x), so wird unter An- 

 wendung von sin2/(yt(l — x):^ — m\2l7t\ 



f . ^ , sin4 7rx , sin6 7rx , ] 



-■ sin 2^x4-^^^-+ ^,,^^^ 4- I 



p2n 2u+l 



und durch Yergleichung dieser Formel mit (24) 



A2n+l(x) =— A2n+l(l— X). («) 



Setzen wir in (23) für x den Wert (1— x), so erhalten wir 

 unter Berücksichtigung von cos 2 1 jc (1 — x) = cos 2 -^ /r x genau wieder 

 dieselbe Formel (23), also 



A2n(x)=-A2n(l-X). {ß) 



Diese zwei letzten Formeln (a) und {ß) lassen sich zusammenziehen 

 zu der allgemeinern Formel 



A,(l-X)=:=(— I)X(X). (11) 



Aus dieser Formel ergeben sich unter Berücksichtigung der 

 Definitionsgleichung (4) mit Leichtigkeit 



A2n(0) = A2n(l) = (-l)""'^^ Und (12) 



A2n+l(0) = A2n+1 i\\ = A2n+l(l) = 0. (13) 



Vervielfachung des Argumentes. 



Die Herleitung der Formeln dafür ist hier bedeutend umständ- 

 licher als bei Schlömilch und Schläfli, da Glaisher zuerst eine Reihen- 

 entwicklung suchen muss, in welcher die BernouUischen Funktionen als 

 Koeffizienten auftreten; von diesem Momente an ist das Verfahren 

 analog dem bei Schläfli. 



Er geht aus von der bekannten, für <^ x -< 1 geltenden Be- 

 ziehung '''^) 



