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e 

 a — 

 e 



-^=l-haA,(x) + a^A,_,(x) + ^A3(.)-f — A,(x) + .... (U) 

 Es ist dies eine elegante Entwicklung, woraus ersichtlich ist, dass 



[n "I ax 

 . _... in der Entwicklung a — 



Von dieser Entwicklung geht, wie wir gesehen haben, Schläfli 

 aus, indem er die Fakultäten der obigen Entwicklung auch noch zur 

 Bernoullischen Funktion mitnimmt; ausgehend von dieser Eigenschaft 

 leitet er dann die wesentlichen Eigenschaften der Bernoullischen 

 Funktion her. Bei Glaisher tritt diese Beziehung nicht so in den 

 Vordergrund, wie sie es verdiente; er leitet zwar einige Formeln 

 durch Koeffizientenvergleichung gleichwertiger Entwicklungen her^') 

 und gibt später die Bernoullische Funktion noch als Koeffizient einer 

 andern Entwicklung. Ein reiner Koeffizient einer solchen Entwicklung 

 ist die Definition von Glaisher nicht. 



Gestützt auf Koeffizientenvergleichung kommt nun auch Glaisher 



auf die Vervielfachung des Argumentes. Ist k eine positive, ganze 



Zahl, setzen wir in der letzten Entwicklung für x der Reihe nach 



1 ]^ i 



die Werte x, x-f y» , x -j — und addieren dann alle 



diese Entwicklungen, so wird die Summe 



1\ , , . / , k— 1 



S = An(x) + An(^x + l^ + + A,(^x4- 



\ 1 C iL 2a (k-l)a ^ 



= |_a"Jin-^e"jl+e^+e'+ + e^ 



=[■■] 



a \ ke^ 1 



'" \TJ~^ = -j^An(kx); daher 



e^-1 



A„(x)-[-An(x + |)+---- + A.(x + ^j=— ^33-A4kx)(15) 



Setzen wir x = 0, so müssen wir die zwei Fälle n = gerade 

 und n = ungerade unterscheiden; es werden für 

 n = ungeraib 



