— 72 — 



sprechender Abänderung auch für die Bn(x)-Funktion gelten; addieren 

 wir beide, so folgt nach zweckmässiger Umgeslallung der linken Seite 



-^^ = x+aB,,(x) + |^B3(x) + -|^B,(x) + (20) 



Es ist dies eine neue Entwicklung nach Bernoullischen Funktionen; 

 aber auch hierin sind die Bernoullischen Funktionen nicht reine Koeffi- 

 zienten der zugehörigen Entwicklung; diese Formel zeigt deutlich den 

 Zusammenhang dieser Funktion mit der Definition von Schlömilch, 

 der gerade den n-fachen Wert der (n — l)**^^ Ableitung einer solchen 

 Entwicklung als n*'-' BernouUische Funktion ^(z, n) definiert. 



Gestützt auf obige Beziehung (20) kommt jetzt Glaisher auf die 

 Funktion mit negativem Argument; er multipliziert dieselbe mit e"''^'' 

 und erhält 



';^=e-"{-V + aIi,(x) + |lB,(x)+|-ü,(x) + j. 



_ 1. 



Durch Entwicklung vom e""^ und nachherige Koeffizientenver- 

 gleichung wird 



_ Bn(-x) = Bn(x) ^(n-1) X Bn-i(x) + ('' 2 j x^ Bn-2 (X) 



-+ +(- 



Dies setzt er symbolisch gleich ^^) 



- + + (-l}'^-^'^-^B.(x) + (-1)"-^". 



-B (_x) = (E-x)"-^BJx), (21) 



wobei E ein Operationsfaklor ist, definiert durch 



EB (x) = Br+i(x); 

 es resultiert dann 



(_lf-iB,(H-x) = (E-x)"-'B^(x). (22) 



Weitere Bernoullische Funktionen mit negativem Argument finden 

 sich keine mehr; diese symbolische Darstellung ist keineswegs bequem 

 zum Operieren; hier ist entschieden jede andere und besonders die 

 Schlällische Definition vorzuziehen. 



§ 25. Diskussion dieser Funktion. 



Der einzige Unterschied dieser An (x)- Funktion, der dieselbe 

 äusserlich nur unwesentlich von der Definition von Schläfli unter- 

 scheidet, ist der, dass Schläfli den Faktor — - vor der Klammer der 



n! 



rechten Seite der Gleichung der n*™ Bernoullischen Funktion hat, 



