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§ 26. Terwandlimg dieser Definition in trigononietr. Reihen. 



Schon bei der Herleitung der Definitionsgleichung ist Glaisher 

 zu trigonometrischen Reihen als Werte für BernouUische Funktionen 

 gelangt; wir brauchen nur für die Bn(x)-Funktion in den Formeln (2) 

 und (3) die allgemeinere An (x)- Definition einzusetzen; dann resultieren 



_i (2n — 1)! f cos4yrx 



. . . , .-n-i (2n— 1)! ( ^ , 



A2„(X) = (—1) 2n-l 2n cos 2 TT X -f 



2-2 u 



cos 6 jr X 



3^ 



(23) 



4 X . w .1+1 (2n)! \ . ^ , sin 4 TT X 



A2n+l(X) = (— 1) + ->n 2n-4-l Sm 2 TT X + 



^2n-fl I ■ . 2--+1 



^'»^^^ 4- l (24) 



Wir wären auch zu denselben Resultaten gelangt, wenn wir uns 

 auf die Theorie der Fourierschen Reihen und Integrale gestützt und 

 für die Funktion f(x) die BernouUische Funktion An(x) eingeführt 

 hätten; wie schon bei Schläfli, so gelangen wir auch hier rascher ans 

 Ziel als Schlömilch, weil das entstehende Integral leichter zu lösen ist. 



§ 27. Integrale mit A„(x)- Funktionen. 



Während Glaisher in seinen zwei ersten, diesen Gegenstand be- 

 handelnden Schriften gar keine Integrale mit Bernoullischen Funktionen 

 gibt, behandelt er die Integraldarstellungen dieser Funktion sehr ein- 

 gehend in seiner dritten, bereits erwähnten Schrift «On the definite 

 integrals connected wilh the Bernoullian function.» 



Er geht darin von den Summenformeln des Sinus und Cosinus 

 aus^^) und leitet auf analoge Weise, wie die Untersuchungen von § 20 

 des vorhergehenden Abschnittes zeigen, seine Integrale her. Trotz 

 des Unterschiedes beider Definitionen bleibt ja die Art des Herleitens 

 dieselbe; wir wollen deshalb hier nicht noch einmal dieselben Ab- 

 leitungen vornehmen, sondern begnügen uns mit der Angabe der er- 

 haltenen Resultate; ein Vergleich der entsprechenden Formeln, die 

 stets sehr ähnlich aussehen, zeigt jedoch, dass diejenigen der Definition 

 von Schläfli noch etwas einfacher aussehen, vorausgesetzt, dass sie in 

 der Form nicht ganz übereinstimmen. 



