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Der Exponent von x darf nie negativ werden. 



Die einzelnen Definitionen kr»nnen wir in zwei Gruppen teilen; 

 die eine Gruppe enthält die Definition von Raabe, diejenige von Sclilö- 

 milch und die erste von Glaisher, also die Funktionen B(x), ^(x, n) 

 und Bn(x). Es sind dies alles Funktionen, bei welchen kein von x 

 freier Term vorkommen darf. Die zweite Gruppe enthält die Funk- 

 tionen, welche einen selbständigen, von x freien Ausdruck aufweisen; 

 es sind dies alle übrigen, also die Funktionen von Glaisher und von 

 Schläfli, nämlich An(x), A'n(x), Yn(x), Un(x) und x{n,\). 



Sämtliche Funktionen stehen mit denjenigen der gleichen Gruppe 

 in engem Zusammenhang; etwas komplizierter sind die Beziehungen 

 der Definitionen der einen Gruppe zu denjenigen der andern Gruppe; 

 wir erhalten folgende Beziehungen, welche den Zusammenhang der 

 einzelnen Definitionen veranschaulichen : 

 /. Gruppe: 



<p{x,2m±l) ^ y(x,2m+2 ) 



^ '' 2m+l ' ^ ^^^ 2m-f-2 ^'' 



9?(x,n) = nBn(x). (9) 



//. Gruppe: 



^("'^)^ (n— 1)! "^"^^-^^ An(x) = (u— 1)! x(n,x). (10) 

 ///. Gruppen gegenseitig: 



B'(x)^(2n+1)! z(2n+2,x)-f(-lf+^ VtV" (H) 



B"(x) = (2n)! z(2n+l,x). (12) 



ß' W - ^2n+2 (^ - Ao,+2(0); B"(X) ^ A,,^^^(X). (I3) 



^(x,2n) = (2n)!x(2n,x)+(-l)'^Bn; 



9^(x,2n+l) = (2n+l)!7(2n+l,x). (14) 



S^(x,2n) = 2nA,Jx)+(-l)"B^; 9(x,2n+l) = (2n+l)A3^_^^(x). (15) 



Aus den obigen Beziehungen lassen sich die Werte für die 

 übrigen Formeln durch einfache algebraische Umwandlung finden. 



