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GestülzL auf die Tabellen I-IV (Seile 92-95), wo die Werte 

 der für unsere Betrachtungen wichtigsten Definitionen für die einzelnen 

 Argumente zusammengestellt sind, können wir obige Beziehungen auf 

 ihre Richtigkeit prüfen. 



§ 30. Yergleichimg der eiiizelueu Defluitioneu. 

 A. Betreffs ihrer Herleitung. 



Die Herleilungen der einzelnen nefinitionen der Bernoullischen 

 Funktion sind sehr verschieden. Überblicken wir alle, so erkennen 

 wir bald, dass die einfachste und eleganteste Herleilung der Definilions- 

 gleichung von Schläfli stammt, der ohne alle Umwege zu derselben 

 gelangt. Zudem steht dieselbe mit der Fundamentalgleichung der 

 Bernoullischen Zahlen in innigem Zusammenhang; dies bietet uns 

 daher den Vorteil, dass wir aus einer Grundgleichung sowohl die 

 Bernoullischen Funktionen, als auch die Bernoullischen Zahlen ohne 

 grosse Schwierigkeit herleiten können, diese Gleichung nennen wir 

 die ^^Fundamentalgleichung der Bernoullischen Funktionen und der 

 Bernoullischen Zahlen.; dieselbe lautet 



""^ s^y"^'''__L^___L. (16) 



111=0 



der erste Bruch rechts führt auf die Bernoullischen Funktionen, der 

 zweite dagegen auf die Bernoullischen Zahlen. 



Keine der übrigen Definitionen zeigt diesen Zusammenhang; bei 

 all denselben braucht es grösserer Umwandlungen und längerer Rech- 

 nungen, bis wir auf die gewünschte Definitionsgleichung gelangen. ) 



B. Betreffs der Derivierten. 



Stellen wir die einfachen Ableitungen der verschiedenen De- 

 finitionen zusammen, so ergibt sich, dass die Ableitungen der Funktionen 

 nach Raabe und nach Schlömilch eine unerwünschte Komplikation 

 durch den Hinzutritt einer Bernoullischen Zahl für die ungerade Ber- 

 noullische Funktion zeigen. Die Definition nach Glaisher weist zwar nur 

 eine Formel auf; dagegen tritt vor die Ableitung noch em Faktor, 

 während bei der Schläfiischen Definition die Derivierte einer Bernoul- 

 lischen Funktion wieder eine reine Bernoullische Funktion ist; letztere 

 Definition ist somit die bequemste. 



Was die mehrfachen Ableitungen anbetrifft, so lassen sich die- 

 jenigen der Raabeschen Definition nicht darstellen, weil dort der 



