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von Glaisher und von Schläfli sind daher allgemeiner gehalten, und 

 es ist das dem Umstände zuzuschreiben, dass die beiden ersten 

 Definitionen kein von der Variabelen freies Glied enthalten dürfen; 

 dies ist auch der Grund, dass bei den Differentialquotienten und Integral- 

 darstellungen dieser Funktionen die lästigen Zusatzglieder mit den 

 Bernoullischen Zahlen auftreten. Die Formeln, welche eine Summe 

 von aufeinanderfolgenden Bernoullischen Funktionen darstellen, ent- 

 scheiden wieder zu Gunsten der Funktionen von Glaisher und von 

 Schläfli, da dieselben nur je eine Formel aufweisen, während die üb- 

 rigen auch hierbei einen Unterschied zwischen geraden und ungeraden 

 Bernoullischen Funktionen machen müssen. Die entsprechenden 

 Formeln dieser Summe bei Glaisher und bei Schläfli sind ganz von 

 gleicher Form; schon ihre Herleitung ist ziemlich ähnlich, da heide 

 durch Koeffizientenvergleichung aus Entwicklungen nach Bernoullischen 

 Funktionen zum Ziele gelangen. Glaisher zeigte im Laufe seiner Unter- 

 suchungen, also nicht etwa als Ausgangspunkt derselben, dass die 

 An (x)- Funktionen sich geben lassen als 



[ (n-1)! J 



m a 



e"— 1 



Er kommt zu dieser Thatsache, wie wir gesehen, auf ziemlich um- 

 ständliche Art und Weise, ausgehend von einer Formel, die selbst 

 eine sehr komplizierte Herleitung aufweist; zudem ist seine BernouUische 

 Funktion kein reiner Koeffizient der Potenz von a, da stets im Nenner 

 eine Fakultät sein muss. Schläfli aber geht direkt von dieser Ent- 

 wicklung aus, indem er definiert 



y (n, x) = n*^ BernouUische Funktion «= [y"] in y 



e^— 1 

 Diese Entwicklung bildet also seinen Ausgangspunkt, auf welchen 

 sich alle Untersuchungen stützen; daher gestaltet sich seine Theorie 

 der Bernoullischen Funktion viel einheitlicher und ist derjenigen von 

 Glaisher überlegen.^'') 



G. Betreffs Entwicklung in Reihen. 

 Alle Definitionen lassen sich leicht als trigonometrische Reihen 

 darstellen und zwar die geraden Bernoullischen Funktionen als Gosinus- 

 reihen und die ungeraden als Sinusreihen. 



Raabe und Glaisher gelangen durch fortgesetzte Differentiation 



f 1 ] '') 



der bekannten Reihe für /f jö" — "^ p woraus successive die ein- 



