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X(2m+l,x)=(-l)"^ ,, ,2..+i 2j ^2.n+i • (21) 



Bei dieser Definilion haben wir, wie sonsl bei keiner andern, 

 ursprünglich alle diese Reihenentwicklungen in derselben Formel ver- 

 einigt, was sehr zu Gunsten dieser Definilion spricht. 



Wir haben auch schon erwähnt, dass mit Hülfe dieser Funktion 

 als Reihenentwicklung Schlälli die Raabesche Restformel herleitet und 

 ebenso den Zusammenhang derselben mit der Rkmannschen Reihe 

 nachweist; es sind dies Beziehungen, welche die Allgemeinheit der 

 Schläflischen Definition trefflich beleuchten. ^^) 



H. Betreffs Entwicklungen nach Bernoullisclien Funktionen. 



Entwicklungen, in welchen die Bernoullisclien Funktionen als 

 Koeffizienten auftreten, lassen sich aus jeder Definilion herleiten; aber 

 nur bei Schlälli sind die Bernoullisclien Funktionen reine Koeffizienten 

 solcher Entwicklungen; auch hier liefert diese Definition die ein- 

 fachsten Formeln. '''') 



§ 31. Diskussion der .,BeruoulIi8clieü Funktion." 



Unsere früher hergeleiteten Reihenentwicklungen der Bernoul- 

 lisclien Funktion haben gezeigt, dass dieselben nur gültig sind für 

 0<x<l^'); deshalb haben wir in unsern Untersuchungen haupt- 

 sächlich das Intervall x == bis x = 1 berücksichtigt, wohl aber auch 

 Gleichungen aufgestellt, um den Verlauf der Funktion ausserhalb dieses 

 Intervalles kennen zu lernen.''^) Gestützt auf diese Beziehungen hat 

 sich uns die Frage aufgedrängt, wie weit sich das Konvergenzgebiet 

 für die verschiedenen Definitionen überhaupt erstrecke. Um diese 

 Frage zu entscheiden, stellen wir die Funktionen graphisch dar. Wir 

 tragen die Werte für das Argument x ^z) als Abscissen auf und die 

 zugehörigen Funktionswerte y als Ordinalen; die einzelnen Werte sind 

 in den Tabellen 1 — IV zusammengestellt; den Verlauf der verschiedenen 

 Funktionen zeigen die Tabellen V — VIII. 



1. Die Bernoiillischen Funktionen ersten Grades. Dieselben 

 stellen bei allen Definitionen eine Gerade dar; bei der Definition von 

 Raabe, wie auch bei derjenigen von Schlömilch ist diese Gerade die 

 Winkelhalbierende durch den ersten und drillen Quadranten, geht also 

 durch den Ursprung; bei den Definilionen von Glaisher und Schläfli 



