— 86 — 



Etwas abweichend davon verhallen sich die Kurven der Bernoul- 

 lischen Funktionen mit ungeraden Exponenten; dieselben gehen sowohl 

 mil positiven Funktionswerten auf positiver Seite der Ordinatenaxe 

 ins Unendliche, als auch mit negativen auf negativer Seite. Alle diese 

 Kurven ungeraden Grades schneiden die Abscissenaxe in den Punkten 



0, -^ und 1, und es sind die Kurven für n = 3, 7, 11, .... , (4/1—1) 



im Iniervall von x = bis x = — positiv und von x= — bisx = l 



negativ; von den Punkten x =: und x = l aus gehen sie absolut 

 gleichwertig ins Unendliche. Für n = 5, 9, 13, , (4/-|-l) nehmen 



die Funktionen zwischen x = und x = — negative Werte an, zwi- 



sehen x = — und x = 1 dagegen positive; in kurzer Entfernung 



ausserhalb dieses Intervalles finden sich nochmals zwei Schnittpunkte 

 mil der Abscissenaxe, worauf auch diese Kurven absolut gleichwertig 

 ins Unendliche laufen. 



Es interessiert uns nun zu wissen, wie sich die Kurven im Un- 

 endlichen verhalten; denn dass dort die zwei Äste der einzelnen 

 Funklionskurven zusammenhangen, ist bekannt, da ja die Parabeln 

 unikursale oder rationale Kurven sind und sich alle Punkte derselben 

 darstellen lassen durch algebraische Funktionen eines variabelen 

 Parameters. 



Wir greifen, da alle Funktionen höhern Grades der verschiedenen 

 Definitionen analoge Form haben, diejenigen von Schläfii heraus und 

 untersuchen vorerst 



A. Die ungerade Bernoullische Funktion. Wir wählen dazu 



Z(5,x) = y = ^ Ir^-T^-W '''' 



6x^ — 15x* + lOx» — X — 720y = 0. 

 Die Schnitte dieser Kurve mit der unendlich fernen Geraden erhalten 

 wir, wenn wir die Gleichung mit z homogen machen durch die 



x' y' 



Formeln x=— und y = -^^ und dann z = setzen; diese Formeln 

 z z 



vorerst eingesetzt, gibt, wenn zugleich mit z'" multipliziert wird, 



6x'^— 15x'*z + 10x'3z2— x'z*— 720y'z* = 0; 

 diese Gleichung wird für z = zu x'^ = 0, d. h., 



