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die Kurve schneidet die unendlich ferne Gerade in der Richtung 

 der positiven Ordinatenaxe in fünf zusammenfallenden Punkten. 



Zur nähern Untersuchung diesei' zusammenfallenden Punkte im 

 Unendlichen transformieren wir die unendlich ferne Gerade, welche 

 wir parallel der Ahscissenaxe annehmen können, ins Endliche, indem 

 ^Yir sie auf die Ahscissenaxe projizieren; dazu dienen die Formeln 



Y = — 7 und X = ^-T-; also y' = — und x' = — 



^ y' y' y y 



Für y = oo wird y' = 0, d. h., 



die unendlich ferne Gerade wird auf die Ahscissenaxe projiziert 

 und letztere ins Unendliche. 



Durch die angedeutete Substitution entsteht, wenn mit y'^ multipli- 

 ziert wird, 



6 x'^ — 15x'^y' + lOx'^v'^ - \'y'* — 720 y'^ ^ 0. (a) 



Dies ist die Gleichung der transformierten Kurve; in dieser entspricht 

 der Nullpunkt dem unendlich fernen Punkt der Ordinatenaxe der ur- 

 sprünglichen Kurve. 



Die Gleichung beginnt erst mit Gliedern vierten Grades; also ist 

 der neue Nullpunkt 0' ein vierfacher Punkt; die Tangenten in dem- 

 selben erhalten wir durch Nullsetzen der Glieder niedrigsten Grades, 

 also durch y'^ = 0, was uns sagt, dass alle vier Tangenten des vier- 

 fachen Punkles mit der Ahscissenaxe zusammenfallen. Für y' = wird 

 x.'^ = 0, d.h., die Ahscissenaxe schneidet die Kurve im vierfachen 

 Punkte 0' in fünf zusammenfallenden Punkten. 



Zur nähern Untersuchung der Kurve in der Nähe dieses vier- 

 fachen Punkles geben wir dem x' kleine Werte. 



a) x' = positiv = 0,01. Die Gleichung («) geht dann über in 

 6 . 0,01^— 15 . 0,01*y' + 10 • 0,0l3y"^ — 0,01 y'-'— 720 y'^ - 0; 

 da y' selbst klein is!, so können wir infolge der vierten und fünften 

 Potenz, in denen das kleine x' vorkommt, die beiden ersten Glieder 

 vernachlässigen; dann tolgt, wenn durch y'^ dividiert wird, 



0,00001 = 720,01 y'2; y'=±^ /0,00001 



720,01 



d. h., zu einem positiven kleinen x' gehören zwei reelle absolut gleich- 

 wertige, ein positives und ein negatives y'. Geben wir dem x' grössere 

 positive Werte, so steigt der absolute Wert der y' ziemlich rasch. 



b) x' = negativ = — 0,01. Für diesen Wert wird aus (a) unter 

 Vernachlässigung der beiden ersten Glieder und durch Division durch y'^ 



