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Da diese Uiitersiichungen auch ausgedehnt werde» können auf 

 die geraden Bernoullischen Funktionen mit hühern Ex^ponenlen, so 

 ergibt sich der Satz: 



Die geraden Bernoullischen Funktionen höhern, 2m*^" Grades 

 stellen ebenfalls Parabeln höhern, 2in^^*' Grades dar; bei denselben ist 

 der unendlich ferne Punkt in der Richtung der Ordinatenaxe ein 

 (2m^-i)-facher Punkt, in welchem alle (2m — 1) Tangenten mit der 

 unendlich fernen Geraden zusammenfallen, irelche die Kurve in 2m 

 zusammenfallenden Punkten berührt. Die Kurve liegt ganz auf der 

 einen Seite der unendlich fernen Geraden, und der (2 m — 1) -fache 

 Punkt unterscheidet sich nicht wesentlich von einem gewöhnlichen 

 Kurvenpunkt, nur ist die Krümmung in der Nähe desselben eine 

 schwächere. 



Da diese Untersuchungen für alle Definitionen analog durchgeführt 

 werden können und auch entsprechende Resultate liefern, so sind wir 

 über den Verlauf aller Bernoullischen Funktionen im Endlichen wie im 

 Unendlichen genügend aufgeklärt. 



Die Tabellen Y — VIII zeigen nun deutlich, dass das Gültigkeits- 

 gebiel der einzelnen Definitionen ein ziemlich verschieden grosses ist; 

 am kleinsten ist das Konvergenzgebiet der Schlömilchschen Definition; 

 das beste Gebiet liegt hier zwischen — 1 und +2; ausserhalb des- 

 selben nimmt die Funktion sehr rasch grosse Werte an. Etwas, aber 

 nur wenig grösser ist das Konvergenzgebiet der Definitionen von Raabe 

 und von Glaisher, was aus den Tabellen Y und VIII ersichtlich ist. 

 Die Parabeln der Definition von Schläfii sind diejenigen, welche sich 

 der Abscissenaxe am weitesten, sowohl nach der positiven wie nach 

 der negativen Seite hin anschmiegen und zwar um so mehr, je grösser 

 der Grad der Funktion ist; so erstreckt sich das beste Gebiet für 

 n = 6 schon zwischen — 3 und -j-4; bei den noch höhern Bernoul- 

 lischen Funktionen wird dieses Gebiet bedeutend vergrössert. 



Es ist dies ein weiterer Vorzug der Definition von Schläfii^. 

 wieder bewirkt durch die Fakultät im Nenner. 



§ 32. Entscheidung. 



Gestützt auf all unsere frühern Betrachtungen, gelangen wir zu 

 folgendem Resultat: 



