A. Droz-Farny. 



Sur un theoreme de Steiner. 



Etüde g^om^triqiie et d^veloppements. 



Le Journal de malhemaliques beige, Mathesis, proposait en 1894, 

 soiis la sigiialure de l'eminent geomelre E. Lemoine, la queslion 



937 : 



Soit un triangle ABC, et soient Ai Bi Ci las symölriques de 

 Vorthocejitre H, par rapport aux milieux des hauteurs ; A', B', C , 

 les symelriques des pieds Ha Hb Hc des hauteurs par rapport 

 aux milieux Ma, 31b, Mc des cötös BC, AC, AB. 

 1° II y a une ellipse qui passe par les six points A, B, C, A^ 



B' C. 



2° Elle est normale aux hauteurs en Ai Bi Ci. 



3" Elle est tangente aux cötös en A' B' C. 



40 Elle a pour centre, le centre du cercle circonscrit. 



50 La somme de ses demi-axes 6gale le rayon R du cercle cir- 

 conscrit. 



e*» Elle a pour equation : ^ « v/ ^ = 

 70 Si le cercle ABC et l'ellipse sont fixes, il y a une infinite de 

 triangles ABC. 



En 1895, j'ai donne dans Mathesis, page 258, une Solution 

 completement synlhelique de la question. En 1896, j'ai publie en 

 outre dans le Journal de Mathe'matiques speciales de Mr. de Long- 

 champs p. 229—233 une Solution gt^ometrique de la question 501, 

 proposee par xMr. le commandant E. Barisien et contenant quelques 

 proprietös nouvelles de la figure. 



Monsieur Barisien avait rencontre cette figure dans ses heiles 

 recherches sur les cercles de Chasles, ces cercles concentriques a 

 une ellipse et de rayons respectifs a+b et a-b et qui jouissent de 

 si nombreuses proprietes. 



Les diverses proprietes relrouvees par MM. Lemoine et Barisien, 

 avaient öte etudiöes autrefois par le grand geometre bernois Steiner, 

 qui les avait publikes dans le Journal de Borchardt, volume 5o, 

 pages 356-378, sous le titre: Vermischte Sätze und Aufgaben. \oir 



