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ses Oeuvres reunies, lome II, pages 671 et suivantes. De nombreuses 

 propriölös nouvelles de ceLte figure onl öle enoncees sans demonstra- 

 tions par Mr. Böklen dans le Journal de Hoffmann. 



Nous les rencontrerons dans la 2'"<' partie de nolre ölude. Lire 

 aussi ia si intöressanle etude iiistorique de la question dans Mathesis, 

 annee 1898, page 61, due au savant geometre Mr. Brocard (Golonel 

 du gönie h Bar-le-Duc). 



Soient donc dans un triangle ABC, A', B', C les symötriques 

 des pieds des hauteurs Ha Hb Hc par rapport aux milieux Ma Mb Mc 

 des cötes BC, CA, AB et Ai Bi Ci les symelriques de rorlhocenlre H 

 par rapport aux milieux. des hauteurs. 



On demontre aisöment que les droites AA', BB', CG' se cou- 

 pent en un point Q, reciproque de l'orthocentre. 11 existe donc une 

 conique qui touche les cötös de ABC en A' B' C. 



Une proposition connue (Memoire sur les Iransversales röciproques, 

 Annales de rEcole Normale, 1866) due ä Mr. de Longchamps prouve 

 que cette conique est l' enveloppe des transversales re'ciproques de Celles 

 qui tournent autour du point H. (Voir note II). 



Le cenlre de cette courbe, d'apres un cas particulier d'un 

 thöoreme de Newton, sur le lieu des centres des coniques ayant 

 quatre tangentes communes, est ä Tinterseclion des droites joignant 

 Ma, Mb, Mc aux milieux Nu, Nb, Nc des droites AA', BB', CG'; ces 

 droites etant paralleles aux hauteurs AHa, BHb, GHc, le centre de la 

 conique E colncide avec le centre du cercle ABC. (Yoir 3 autres 

 demonstrations dans la note I). 



A TT AlH 



Comme OMa = —^ = —~ , la droite A'O passe par Ai et 



A'0 = OAi; donc E passe par Ai ßi Ci et les tangentes en ces points 

 sont paralleles aux tangentes menees en A' B' C, autrement dit: Les 

 hauteurs du triangle ABC sont normales ä la conique E. 



Les perpendiculaires 61ev6es en A', B', G' sur les cötös se coupent 

 en un point N, symetrique de l'orthocentre par rapport ä 0. Ce 

 point est evidemment l'orthocentre du triangle anlicomplementaire de 

 ABC; donc: 



Les hauteurs du triangle anticomplementaire sont aussi normales 

 ä la conique E. 



Menons par et par Ai des paralleles ä BC ; la premiere ren- 

 contre E en S et la secoads AG en P. Oa voit facilement que les 



