— 137 — 



Segments A'C et Ai P deleroiin^s par la langente AC sur les taii- 

 gentes paralleles Ai P et A'C sunt toujours de memo sens; donc: 

 E est une ellipse. 



i 



Ensuite d'apres iin Ihöorörae connu OS =^ A'C . AiP. 

 Mais si l'on mene par H une parallele ä AC qui renconlre BC 

 en D, l'ögalile AAi = HHa enlraine Ai P = HaD, d'oü 



2 2 



OS = A' C.Ai P = BHa. HaD = HHa 



Donc les demi-diametres de E paralleles aux cdte's de ABC sont 

 e'gaux aux segments infe'rieurs HHa, HH^, HHc des hauteurs. 



Nous connaissons mainlenant deux demi-diametres conjugues, 

 OA' et OS. Pour appliquer la construction de Chasles, nous elevons 

 en A' sur BC la perpendiciilaire xA'y, de maniere que xA' = A'y = 

 HHa, et que et x soient de part et d'aulre de BC, on aura: 



Ox = a+b ; Oy = a— b 

 et les axes de E sont diriges suivant les bissectrices de l'angle xOy. 

 Comme BHa = A'C, A'x = HHa, on voit que x nppartient ä la cir- 

 conference ABC, donc R = a-{-b 



En üutre Oy = ON =^ (a— b) -- OH 

 HN = 2 (a— b). 



Si, entre le rayon d'une circonförence et les axes d'une ellipse 

 de meme centre, on a la relation R = a+b, on peut inscrire ä la 

 circonförence une infinite de triangles qui sont en m6me lemps cir- 

 conscrits ä l'ellipse et celle-ci est normale aux bauteurs de chacun 

 des triangles, Cette proposition est rendue presque evidente par ce 

 qui precede; on l'etablit par uu calcul facile, en prenant pour axes 

 de cüordonnees, les axes de l'ellipse et en considörant d'abord un 

 triangle isoscele dont les sommets ont pour coordonnees (a-|-b ; 0) 

 et ( — a; + V(3~i-t»)^ — ^^ )> P^is en appliquant le Iheoreme de Poncelet. 



Ces triangles jouissent des proprietös suivantes: 



1° L'ortbocentre decrit une circonference de centre et de rayon 

 (a — b); le centre de gravitö decrit une circonference de centre 



et de rayon — -— ; le centre du cercle d'Euler decrit une circon- 



förence de centre et de rayon — — . 

 Bern. MitteU. 1900. No. 1495. 



