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Calcul de Aa: On a AC' = BHc = a cos B 



AB' = CHb = a cos G 

 -,2 



donc B'C = a2 cos^ B + a2 cos^ C — 2 a2 cos A cos B cos C 



= 4 B2 sin2 A [cos^ B + cos^ C — 2 cos A cos B cos C] 



Or: ÄG^^ + ÄB"'" - 2 C^^ -{- 2 Ää' 



donc: 2 Ä^^ = 2 R2 sin2 A[cos2 B +cos2 C+2 cos A cos B cos C] 

 = 2 R2 sin4 \ (d'apres formiile I) 

 Aa = R sin2 A 

 Oa = R cos2 A 



Cherchons siir la droite OA, les poinls x el y tels que soit 

 le milieu de x y et que x et y divisent A« harmoniquement. 

 On aura: 0x2 =0y2 = q«. OA = R2 cos2 A 

 Ox =. Oy= R cos A 

 Donc .ry = AH 



Theoreme: Le diamelre de la coniqiie E dirige suivant OA est 6gal 

 au Segment supörieur AH de la hauleur AHa. 



Triangle orthique (Vun triangle ABC. 

 Le triangle orlhique Ha Hb Hc est inscrit au cercle d'Euler de 

 ABC. Le Heu da centre O9 du cercle circonscrit ä ce triangle est donc 



une circonference de centre et de rayon — — . L'orthocentre H du 



sL 



triangle ABC est le centre du cercle inscrit au triangle orlhique, donc: 

 Le Heu du centre H du cercle inscrit est une circonference de centre 

 et de rayon (a — b) 



Le rayon du cercle circonscrit ä Ha Hb Hc reste constanl 



R' = - = -T~; il es^ fäcile de demonlrer que le rayon r' du cercle 

 z dl 



inscrit ä Ha Hb Hc reste aussi constant. 



En effet: a' = a cos A; b' = b cos B; c' = c cos C. 



donc 2 p' = ^ a cos A = ^ 2 R sin A cos A = R^sin 2 A 



2 p' = 4 R sin A sin B sin C 



2 surface du triangle orthique = 2 S' = a' b' sin 2 G 

 2 S' = ab cos A cos B sin 2 G 

 = R2 sin 2 A sin 2 B sin 2 G 



