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S' ab 



-= 2 R cos A cos B cos C 



p' a-fb 



On a donc: 



a-f-b 



Si d'iin point P, on mene les qualre normales possibles ä une 

 ellipse, on sait d'apres un th6oreme de Joachimsthal que Irois des 

 pieds des normales et le poinl diametralement opposö sur l'ellipse au 

 qualriöme pied sont quatre poinls d'une möme circonference. Celle 

 remarque nous permellra de conslruire les qualriömes normales des 

 poinls N et H ä l'ellipse. 



Soit donc im triangle ABC inscrit dans le cercle de rayon 

 R = a-|-b et circonscrit ä Tellipse E [figure 2] OH fait avec un des 

 ax.es de E un cerlain angle (f. Construisons la symetrique de OH par 

 rapport aux axes de E et soit Q son point d'inlerseclion avec le 

 cercle. Comme OQ = a-[-b et OH = a — b et comme l'angle QOH est 

 divisö en parlies ögales par les axes de E, on sait d'aprös Ghasles, 

 que HQ est normale ä l'ellipse en son point milieu P et que 

 PH = PQ = le demi-diamötre conjuguö ä OP. 



La perpendiculaire abaiss^e de sur la langente en P est ^gale 

 en representant par a l'angle de OP avec son diamötre conjugue ä 

 OP sin a et par consequent d'apres un theoreme bien connu 6'Apol- 

 lonius en representant la dislance de ä la langente par d on a: 

 d. HP = OP. HP sin a = ab. 



Supposons une seconde ellipse ^ inscrile dans le triangle ABC 

 et admellant pour foyers et H. Son cenlre sera le centre O9 du 

 cercle des neuf poinls du triangle. Soit R le symetrique de H par 

 rapport ä BC. OR sera le grand axe de l'ellipse 2 et coupera BC au 

 point de conlact. Mais d'apres un theoreme connu de g6omelrie, les 

 symötriques de l'orthocentre d'un triangle par rapport ä ses cölös 

 apparliennenl ä la circonference circonscrite au triangle, donc OR le 

 grand axe de l'ellipse ^ est 6gal ä a-f-b. 



On a donc pour celte ellipse 2a' = a-J-b 



2c' = OH - a— b 

 2b' = 2 Väb 

 On sait que les pieds des perpendiculaires abaissöes des foyers 

 d'une ellipse sur les tangenles sont sur le cercle principal de l'ellipse 



