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et que le produit des deux perpendiculaires abaissees des foyers sur 

 une tangenle quelconque est egal au carre du demi petit axe. Gomme 

 d'aprös une relation pröcedente 



d. HP = ab = ¥^ 

 il en rösulte que la langente ä E au point P est aussi tangente ä 2 

 d'oü le Iheoreme önonce par Mr. Böklen [Dr. 0. Bökleii, Oberstudien- 

 ralh ä Sloulgart] 



Theoreme: Les deux ellipses E et I ont 4 tangentes communes, les 

 3 cötes du trimigle ABC et une quatrieme tangente dont 

 le point de contact avec E est le pied P de la 4"" nor- 

 male de H ä l'ellipse. Comme H et N sont symetriques 

 par rapport ä 0, le point diame'tralement oppose de P sur 

 E est le pied de la 4"" iiormale de N ä E. Le point P 

 est un des points d'intersection du cercle d'Euler de ABC 

 avec rellipse E. 

 Transformons l'ensemble des deux ellipses E et .2 ainsi que le 

 cercle principal de 2, ou cercle d'Euler de ABC, par polaires r6ci- 

 proques, par rapport ä une circonference de centre et de rayon q = \Jd\). 

 (voir figures 3' et 3") 



L'ellipse E d'axes AAi = 2 a et BBi = 2 b se Iransforme sui- 

 vant une ellipse 6gale E' tournöe autour de de 90**. 



L'ellipse 2 de foyers et H de grand axe CCi = a+b [OG = a 

 et OCi = b puisque OH = a— b] se transforme suivant un cercle 2' 

 döcrit sur G'Ci' comme diamötre; OG' = b et OGi' = a, le cercle 

 principal de 2 lournö de 180^ Enfin le cercle principal S se trans- 

 forme suivant une conique S' de foyer egale ä la conique 2 tournöe 

 de 180*^ autour de 0. 



Les deux coniques E' et S' ainsi obtenues, ayant la m6me Posi- 

 tion relative que les coniques E et 2, il en rösulte qu'aux points 

 d'intersection de E et S correspondent 4 tangentes communes des 

 coniques E' et S' dont trois formenl un triangle inscrit dans une 

 circonförence de centre et de rayon (a-fb). En revenant ä la figure 

 primitive on a le theoreme suivant de Mr. Böklen. 

 Theoreme: Le cercle principal de la conique 2 ou le cercle d'Euler 

 du triangle ABC coupe rellipse E en 4 points: un de ces 

 points P est le pied de la 4"'* normale abaisse'e de H sur E. 

 Les trois autres points Az Bz Ca forment un triangle cir- 



