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consent ä une circonference fixe de centre et de 



ab 

 rayon -. — t—~ 

 (a+b) 



Les triangles variables Ha Hb Hc et A2 B2 C2 sonl inscrits dans un 



a-j-b 

 m^me cercle variable, mais de rayon constant R = et ont un 



, . a b 



rayon de cercle inscrit constant r 



a-|-b' 



Ces triangles jouissent de nombreuses propri6t6s provenant de 

 rinvariance de R et r. 



Ces propriötes seront dömontröes en note ä la fin du travail. 



Ddmoustration aiialytique d'un deriiier thdoreme de Mr. Böklen. 



Soient de nouveau l'ellipse E, le point H, HP la 4'"^ normale ä E; 

 HP etant egal au demi-diametre conjuguö a OP; a 6tant l'angle ex- 

 centrique de P, OH est 6gal ä (a — b) et forme un angle a avec le 

 grand-axe de E. 



Le cercle d'Euler de ABC de centre O9, point milieu de OH 

 passe ainsi que nous Tavons vu par P et le pied de la perpendicu- 

 laire abaissee de sur la tangente en P ä E. [fig. 4] 



D'apres un Ihöoröme de Laguerre, on peut considerer ce cercle 

 comme un cercle de Joachimsthal et par consequent les normales a 

 la conique E, aux points Ao, B2, C2 sont concourantes en un point Q, 

 situö sur la normale au point p, diamölralement oppose ä P sur E. 



Si d'un point Q quelconque, pris sur la normale fixe au point p 

 (x' y') de l'ellipse E, on abaisse les trois autres normales ä E, leurs 

 pieds sont sur une circonförence qui passe aussi par le point diame- 

 tral P de p (coordonnöes — x' — y') d'apres le thöoreme de Joachimsthal. 



Cette circonförence passe aussi par le pied N de la perpendi- 

 culaire abaissöe du centre de TeUipse sur la tangente au point P 

 (thöoröme de Laguerre). Si le point de concours Q des normales se 

 döplace sur la normale en p, le lieu du centre du cercle de Joachims- 

 Ihal est une droite, la perpendiculaire ä NP en son point milieu. 



Le cercle d'Euler passant par P et N est donc bien un cercle 

 de Joachimsthal. 



Le symötrique du centre de Tellipse par rapport au centre 

 du cercle J (ici H) et le sym^lrique Q' du point Q de concours des 

 normales par rapport k sont övidemment sur la normale en P. 



