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Mais on peut dömontrer que ces deux points sont isoiomiques sur 

 cette droite par rapport aux axes. 



En effet soient x', y' les coordonnöes de p et a, ß Celles du 

 point Q; röqualion du cercle de Joachimsthal sous la forme que lui a 

 donnöe Mr. de Longchamps sera: 



X2 +y2 _|_xx'+,y'-U f^+^+l\ = 



On aura pour les coordonnees de son cenlre. 



, , ux' r , x' /' , b2/?\ b2/?x' 



2y = — y + 



a'^ a- \ y / ^^ y 



r 



b2 b2 x' 



On a donc pour les coordonnöes du point H: 

 X = 2x Y = 2y 

 Or XY -= a/? 



Les poinls Q, Q' H sont donc sur une hyperbole öquilatere de 

 centre et dont les asymptotes coincident avec les axes de E. 

 On a donc bien HL = Q'M.' 



Donc PL 4- PM = PH + PQ'. 



Or comme PH = b' 



b a 



on sait que PL = — b' et PM =-r-b' 

 a b 



Donc — b' + -^ b' = b' + PQ' 

 a ' b ' 



n en rösulte PQ' = ;-. PH. Le lieu du point Q' est donc une 

 ellipse coaxiale k la proposöe; il en sera de meme pour le lieu du 

 point Q. Voici d'ailleurs son equation: 



Les coordonnees du point P sont: — x' = a cos^; 



— y' =^ b sin ^ 



b2 /? x' a2 a y' 



nous avons trouvö pour H: x ==- — ^—7—; y = -; r- 



^ a2 y' ' "^ b2 x' 



Mais on sait aussi que: 



