— 73 — 



je vier jener lüiil' iioeli diiicli eine Gerade (ausser F) geschnitten 

 werden, weil überhaupt 4 Gerade nur von zwei Geraden ge- 

 schnitten werden. Es mögen b, c, d, e noch von der Geraden 

 A geschnitten werden, u. s. f. Man erhält so die fünf Geraden 

 A, B, C, D, E. Nun sind A, B, C, D bereits von e geschnitten, 

 es muss also noch eine zweite Gerade f geben, welche alle 4: 

 schneidet. Diese f wird dann von selbst auch die E schneiden. >> 

 Gibt es wohl für diesen Satz einen elementarem und kürzern 

 Beweis als den aus der Theorie der kubischen Flächen ge- 

 schöpften ? 



Wenn die auf ein reelles Coordinatensystem bezogene 

 Gleichung einer kubischen Fläche lauter reelle Koeffizienten hat, 

 so ist leicht zu zeigen, dass auch die Fläche selbst reell ist. 

 Man kann aber fragen, wie viele von den 27 Geraden und den 

 ib Ebenen imaginär sein können. Da die vollständige Erörte- 

 rung hierüber zu lang würde, so begnüge ich mich, hier nur 

 eine Übersicht der Gattungen zu geben, in welche der keiner 

 besondern Beschränkung unterworfene allgemeine Begriff der 

 kubischen Fläche zerfällt, w^enn man die Realität ihrer Geraden 

 zum Einteilungsprinzip macht. Es gibt nur folgende fünf Gat- 

 tungen: -) 



Zum Schluss will ich noch bemerken, dass der Doppel- 

 sechser auch beim Knoten einer Fläche dritten Grades eine Rolle 

 spielt; Knoten nenne ich nänüich einen solchen Punkt (w, x, y, z) 

 irgend einer algebraischen Fläche f (w, x, y z) = o, für den D f = o 

 erfüllt ist, welches auch die 4 Elemente des Differentialsymbols 

 D sein mögen; ich nenne ihn einen eigentlichen Knoten^ wenn 

 der durch D' f = o dargestellte quadratische Kegel (der 

 Knotenkegel) nicht zerfällt. Hat nun eine Fläche 3ten Grades 

 f = o einen solchen eigentlichen Knoten (w, x, y, z), so sind die 

 6 durch denselben gehenden und durch das System (D'^ f ^ o, 

 D'' f = o) dargestellten Geraden ein Doppelsechser, worin je 

 zwei entsprechende (sich also nicht schneidende) Geraden beider 

 Sechser zusammengefallen sind. 



Der dritte Aufsatz «über die doppelt umschriebene Abwickel- 

 bare einer algebraischen Fläche überhaupt und insbesondere über 



-] Dieser Passus fehlt im Manuskript, es sind dies die 5 Fälle, welche 

 Schlaefli 1863 in den Philos. Trans, behandelt. 



Bern. Mitteil. 1905. Nr, 1600. 



