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(p + q) (t -f p'} (t + q') + (P' + q') (t - p)^ (t " ^^ = ^ 

 haben müsse, wo t ein reelles Polynom, und p, p ; q, q Paare 

 von conjugierten Polynomen bedeuten. Setzt man nun u = 

 p .j_ q, V = — t — p', w = — t - q', X = p' + qS 

 ^. __ t 1- p, z = t — q, so besteht schon eine identische Re- - 



lation I 



u-fv-|-w + x + y-}-z = o, I 



welche der Bedingung abc = def genügt, weil a = l,b = 1, 

 etc. (Die Auffindung der zwei andern indentischen Relationen 

 hängt daher nur noch von einer quadratischen Gleichung ab, deren 

 Beschaffenheit über die Species der Fläche entscheiden wu-d). 

 Aus dieser Relation fliesst nun unter anderm die Transformation 

 (u + z) V (w + z) + (v + x) (v + y) z -: 



(q + q') (t -h P) (t + P') + (P + P') (t + q) (t -}- q') durch, wir 

 haben nun ein Triederpaar, wo u, x reell und v, w; y, z zwei 

 Paare conjugierter Polynome sind; mit andern Worten die 

 Triederpaarform 8« ist mit 4^ äquivalent; daher umfassen beide 

 Formen dieselben Arten der Flächen 3. Grades. Es ist auch 

 klar, dass ausser den anfänglichen reellen Graden (u = o, x = o) 

 auch noch die Geraden (w + z = o, v + y = o, u + x = o) 



(u -f X = o, V + z = o, w + p = o) reell sind. 



Wenn hingegen durch die anfänghche reelle Grade u x 

 drei oder fünf reelle Ebenen gehen, so dürfen wir u, x als reell 

 annehmen. Dann sind entweder v, w, y, z alle reell, oder es sind v, w 

 reell, y, z conjugiert ; oder es sind v w conjugiert, und y, z auch; 

 oder endlich, wenn diese drei Fälle nichc stattfinden, so muss 

 die Gleichung uvw -\- xyz = o notwendig eine der drei fol- 

 genden Formen haben: 



u (1" - (t -h ix) 2) + X (s-^ -- (t - is)2) = o, 

 u (r*^ — (x f it) ^) + X (s-^ — (t — is)') = o, 

 u (1-2 _ (X 4- it) ') + X (s^ - (u — it)-) = o, wo 1^ = 

 — 1, und r, s, t reelle lineare Polynome bedeuten. Diesen 6 

 Fällen entsprechen die Triederpaarformen 



1*', 3^ 4", 5^ 6", 7". Setzt man in der letzten Form 7*^: 



V = 1- (r -f X + it), w = 4-(r - x - it); 



y = - 4- (s + u - it), z = -f (s - u -h it), so folgt als 



