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symmetrische Formel. Daher ist, wenn imr cos c = — ^ , 



y / sin'^y-cos^/:? 



sin a cos r ..-i^c da ,, , 



cosa = — , gesetzt wn-d, ■^—-=.— und ad« + 



/ . da oy 



y/ sin^a - cos-/:? 



cd^ ein vollständiges Differential, wobei zu bemerken, dass a 

 und c gleichzeitig verschwinden , wenn nämlich sin ^ a sin '^ y — 

 cos ^ ß = o ist. Hieraus erhellt , dass die Funktion S = 



X = r 



ydx, als deren Argumente wir a, ß, y betrachten 

 y == o 

 wollen, durch Vertauschung von a und y nicht verändert wird. Sind 



nun m, n, p ganze positive Zahlen, und setzt man a == —, ß =^ 



o 



— , r = — , so sollS=777 r sein, wo die neue Funktion f durch 



n p i(m,n,p) 



Vertauschung von m und p nicht geändert wird. Nun habe ich 

 für die vier einzigen Fälle, wo f einen realen endlichen Wert 

 hat gefunden : 



f (3, 3, 3) = 30, f (3, 3, 4) .- 96, f (3, 3, 5) = 3600, 



f (3, 4, 3) = 288. 



Es scheint somit eine finite Formel zu existieren, vielleicht 

 zahlentheoretischer Natur, welche nur diese vier reellen Fälle 

 enthält. Ich weiss aber gegenwärtig noch kein Mittel zu diesem 

 allgemeinen Gesetz zu gelangen. Es ist noch zu bemerken, dass 

 f (4, 3, 4) = cxD und f (3, 3, 6) rein imaginär, aber endlich sein 

 muss. — Zu jenen vier rationalen Werten bin ich durch Be- 

 trachtung des im Eingang erwähnten Integrals für n = 4 ge- 

 langt, indem ich alle Fälle untersuchte, in denen eine symmetrische 



Begrenzung des Integrals / / / /dwdxdydz einzig durch 



lineare Polynome möglich ist, und hiebei fand, dass dieses 

 durch 5, 16, 600, 24, 8, 120 Polynome geschehen kann, wo die 

 Art der Begrenzung durch die Typen (3, 3, 3), (3, 3, 4), (3, 3, 5), 

 (3, 4, 3), (4, 3, 3), (5, 3, 3) zu bezeichnen ist. 



