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Von dem, was in Beziehung auf Integrale von der Form 

 y dx, wo X, y Bogen sind, deren trigonometrische Funktionen 



durch eine algebraische Relation voneinander abhängen, bis 

 jetzt ist geleistet worden, ist mir gi.r nichts bekannt. Ich sehe 

 wohl ein, dass sie sich auf Dopp^L'ntegrale von algebraischer 

 Form zurückführen lassen und di:2d mannigfaltiger Verwand- 

 lungen fähig sind, von denen auj man wieder auf einfache 

 Integrale zurückkommen kann; aber ich fürchte, diese werden 

 wieder die angegebene Form haben. Setzt man z. B. 



. = r 



arc cos . , „ • dx, 



1 + 2 cos X ' 



so hat man auch 



/• f dx dy ( x^' -\- j' < 1 \ 



y 7 X y \/(4x^-l)(2y^-l) 1^ > \/ h >^ > V T 1 

 und durch fernere Verwandlung 



n 



^ ^^ , \l 5 sin^ X - 2 . ^. 



arctang ^- — • d x -p 



sin X = \/-| «in ^ 



Z*'^" ^'-^-^ \/^_5sin^x ^ 



J arctang LJ dx = — 



„ j^ sm x tang x ^^ 



•^ ^ 6 



Eine auch hier einschlagende, aber leicht zu verifizierende 



Formel ist 



*sin X = ab , / 2 i 2 ~'^~2 — 



cos X V a'' b^ — sm'' X , 

 arcsm — • o ~ ' ^ 



-jj __ Q V (a^-sin- x) (b^-sin^ x 



;= aresin a • aresin b. 

 Man erhält sie, wenn man in jener allgemeinen Funktion 

 S mit den Argumenten a, /?, y das mittlere Argument ß =^ -^ 



fß = -f ^ ,, 



setzt, und dann der Funktion die Form / dß ' 



cos ß = sin a sin y 

 gibt. 



/■ 



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