A. Droz-Farny (Porrentruyj. 



Sur l'hyperbole d'Apolionius. 



Notes g^om^triques 



I. 



On sait que, dans les sections coniques, le probleme des 

 normales est resolu par l'intersection d'une hyperbole equilatere, 

 l'hyperbole d'Apollonius, avec la conique donnee. Dans la question 

 2245 de l'Intermediaire des Mathematiciens, (annee 1901, page309) 

 Monsieiu' H. Brocard, reminent geometre frangais propose la 

 recherche des points importants de cette hyperbole. Ces notes 

 geometriqiies ont pour but de developper la question posee par 

 M'" Brocard. Dans ce qui suit, nous nous occuperons surtout 

 des coniques ä centre. Mais, sauf de legeres corrections, les 

 proprietes enoncees sont valables aussi pour la parabole. 



Si d'un point fixe P, on abaisse des perpendiculaires, sur 

 les tangentes d'une conique, et que Ton prenne le point d'inter- 

 section de cette droite avec le diametre de la conique passant 

 par le point de contact de la tangente, le lieu de ce point 

 sera une hyperbole equilatere, l'hyperbole cl' ApoUonius (Chasles, 

 Sections coniques, page 142). 



Supposons d'abord, une conique ä centre. 



La perpendiculaire abaissee de P, sur une tangente t est 

 aussi perpendiculaire sur le diametre A qui lui est parallele. Le 

 diametre A', passant par le point de contact de t est le con- 

 jugue de A. 



Or le faisceau des diametres A' est homographique ä celui 

 des diametres A. Le faisceau des perpendiculaires abaissöes de P 

 etant homographique au faisceau A, le sera aussi au faisceau A' 



