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le point fixe P' diametralement oppose ä P sur Fhyperbole. Le 

 triangle EFG etant conjugue a la conique, d'apres un theoreme 

 connu de Faure, sa circonference circonscrite coiipe orthogonale- 

 ment la circonference de Monge de la conique. Le cercle EFG 

 passera donc par un deuxieme point fixe iT, le conjugue harmonique 

 de P' par rapport aux extremites du diametre P'O du cercle 

 orthotomique considere. Les cötes du triangle EFG sont donc 

 les cordes d'intersection d'une hyperbole fixe avec les cercles 

 d'un faisceau ayant un de ses centres sur l'hyperbole. 



Ils enveloppent par consequent une conique qui doit etre 

 une parabole car le cercle singulier du faisceau est constitue par 

 la droite P'JT et la droite infinie. 



Or cette derniere etant une corde commune ä l'hyperbole 

 et au cercle, est une tangente a la conique qui est donc bien 

 une parabole. 



III. 



Dans le Journal de mathematiques speciales de M"" G. de 

 Longchamps, annee 1892, Monsieur Ch. Michel a propose, sous 

 le numere 352, l'interessante question suivante : 



On donne une ellipse, un point P qu'on Joint aux foyers. 

 Demontrez que les centres des secantes communes au Systeme 

 des 2 droites ainsi obtenues et ä l'ellipse sont sur Thyperbole 

 d'Apollonius du point P. 



Soient Pi et P2 les centres des paires de secantes com- 

 munes. Ces 2 points appartiennent ä la polaire de P par rapport 

 ä la conique. Le faisceau P (FiPiF2P2) est donc harmonique. 

 Si PTi, etPT2 sont les deux tangentes menees de P ä la conique, 

 il en est de meme du faisceau P (T1P1T2P2). 



Les rayons PPi et PP2 sont donc les rayons doubles du 

 faisceau en Involution PTi, PFi, PT2, PF2. Or d'apres un theo- 

 reme connu de Poncelet, ce faisceau est isogonal, donc les droites 

 PPi, et PP2, sont orthogonales en P. 



La perpendiculaire abaissee de Pi sur sa polaire PP2 passe 

 par P, donc Pi et de meme P2 appartiennent ä l'hyperbole 

 d'Apollonius de P. 



Dans le volume de 1894, du meme Journal, M' Ch. Michel 

 a indique la belle generalisation de son theoreme : 



